25/2/08

Raíces de Geometría Analítica

La Geometría Analítica puede considerarse como la fusión histórica de la Geometría Euclidiana y No Euclidiana, con el Algebra. La síntesis de la cantidad abstraída a un mayor nivel, hecha letra, y la figura plana abstraída también a un mayor nivel, para representar un mundo esférico. Ni Fermat ni Descartes pudieron descubrir el Cálculo Diferencial, tan cercano para ellos según algunos. Pero ni Fermat es Newton ni Descartes es Leibniz. Ni la primera mitad del siglo XVII es la segunda mitad. Newton y Leibniz, en la segunda mitad, arribaron al Cálculo en condiciones històricas y tecnológicas que les permitieron estudiar la disciplina de las relaciones incrementales, como podría definirse el cálculo.

Sobre las raíces de la Geometría Analítica en Descartes, véase:

http://www.foroswebgratis.com/tema-fermat_y_descartes-27141-700300.htm

Y dice:

"Aunque Fermat sea más conocido por su famoso "último teorema" que ha traído en vilo a los matemáticos durante más de 3 siglos, es junto a Descartes el padre de una aportación mucho más importante, la geometría analítica. Ambos estuvieron a un solo paso de algo mucho más notable: la creación de cálculo diferencial.

"La Geometría" es uno de los tres ensayos que acompañan el Discurso del Método, y del que son un ejercicio de aplicación sistemática. Los otros dos ensayos son "Los Meteoros" y "La Dióptrica"

"La Geometría" está dividida en tres "Libros".

El primero de ellos trata "Sobre los problemas que pueden construirse empleando solamente círculos y líneas rectas". El segundo "Sobre la naturaleza de las curvas". El tercero "Sobre la construcción de problemas sólidos y supersólidos".

Su mayor aportación, es la combinación de recursos algebraicos y geométricos, para la resolución de problemas cuyo enunciado puede venir dado en forma de problema geométrico o algebraico.

La historia ha simplificado esta combinación reduciéndola a una simple traducción de curvas geométricas a ecuaciones algebraicas, pero Descartes en el libro tercero de la Geometría se recrea justo en el viaje en sentido contrario.

En él descubre la regla de la alternancia de los signos de los coeficientes de una ecuación:

Una ecuación tiene a lo sumo tantas raices "verdaderas" (positivas) como cambios de signos entre los coeficientes y tantas "falsas" como permanencias de signo.

Y demuestra que toda ecuación de cuarto grado es la intersección de una parábola con una circunferencia.