*
Las negrillas y separación de algunos párrafos son nuestros para efectos de estudio.
Tomado de:
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticaMatemáticasDe Wikipedia, la enciclopedia libre
Las Matemáticas o la matemática (
del lat. mathematĭca, y éste del gr. τὰ μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es una
ciencia que,
a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico,
estudia las propiedades y relaciones entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos).[2]
Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos buscan
patrones,[3] [4] formulan nuevas
conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante
rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los
axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin. [5]
Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o si provienen de la imaginación humana.El matemático Benjamin Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias".[6]
Por otro lado, Albert
Einstein declaró que
"cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad".[7]Mediante la
abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en
las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos.Las matemáticas, desde sus comienzos,
han tenido un fin práctico (...).
Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.
Hoy en día, las Matemáticas se usan en todo el mundo como una
herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica).
Las
matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas.
Los matemáticos también participan en las
matemáticas puras,
sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.[8]
(...)
EtimologíaLa palabra "matemática" (del griego
μαθηματικά, «lo que se aprende») viene del
griego antiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir
«campo de estudio o instrucción».
El significado se contrapone a
μουική (musiké) «lo que se puede entender sin haber sido instruído», que refiere a poesía, retórica y campos similares, mientras que μαθηματική se refiere a las áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas (astronomía, aritmética).[9]
Aunque el término ya era usado por los pitagóricos en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido de "estudio matemático" en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es μαθηματικός (mathēmatikós), "relacionado con el aprendizaje", lo cual, de manera similar, vino a significar "matemático". En particular, μαθηματική τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē; en latín ars mathematica), significa
"el arte matemática".La forma
plural matemática
s viene de la forma latina mathematica (Cicerón), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), usada por Aristóteles y que significa, a grandes rasgos, "todas las cosas matemáticas".
(...)
HistoriaLa evolución de la matemática puede ser considerada como el resultado de un incremento de la capacidad de abstracción del hombre o como una expansión de la materia estudiada. Los primeros conceptos abstractos utilizados por el hombre, aunque también por muchos animales[10] , fueron probablemente los números. Esta noción nació de la necesidad de contar los objetos que nos rodeaban.
Desde el comienzo de la historia, las principales disciplinas matemáticas surgieron de la necesidad del hombre de hacer cálculos con el fin de controlar los impuestos y el comercio, comprender las relaciones entre los números, la medición de terrenos y la predicción de los eventos astronómicos.
Estas necesidades están estrechamente relacionadas con las principales propiedades que estudian las matemáticas(:)
la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio.Desde entonces, las matemáticas han tenido un profuso desarrollo y se ha producido una fructífera interacción entre las
matemáticas y la ciencia, en beneficio de ambas. Diversos descubrimientos matemáticos se han sucedido a lo largo de la historia y se continúan produciendo en la actualidad.
Además de saber
contar los objetos físicos, los hombres prehistóricos también sabían cómo
contar cantidades abstractas como el tiempo (días, estaciones, años, etc.) Asimismo empezaron a dominar la aritmética elemental (suma, resta, multiplicación y división).
Los siguientes avances requirieron la escritura o algún otro sistema para registrar los números (...)
Los sistemas de numeración han sido muchos y diversos.
Los
primeros escritos conocidos que contienen números fueron creados por los egicios en el Imperio Medio, entre ellos se encuentra el Papiro de Ahmes. La Cultura del valle del Indo desarrolló el moderno sistema decimal, junto con el concepto de cero.
Los antiguos babilonios utilizaban el sistema sexagesimal, escala matemática que tiene por base el número sesenta.
De este sistema la humanidad heredó la división actual del tiempo: el día en veinticuatro horas - o en dos períodos de doce horas cada uno, la hora en sesenta minutos y el minuto en sesenta segundos.Los árabes proporcionaron a la cultura europea su sistema de numeración, que reemplazó a la numeración romana.Este sistema prácticamente no se conocía en Europa antes de que el matemático
Leonardo Fibonacci lo introdujera en
1202 en su obra
Liber abbaci (Libro del ábaco). En un principio los europeos tardaron en reaccionar, pero hacia finales de la Edad Media habían aceptado el nuevo sistema numérico,
cuya sencillez estimuló y alentó el progreso de la ciencia.Euclides (siglo IV a. C.) fue el matemático más relevante de la Antigüedad. Es muy conocido por una compilación de sus conocimientos de geometría, voz griega que significa medida de la tierra.
Tales de Mileto (siglo VI a. C.), conocido principalmente por su obra matemática y por la creencia de que
el agua era la esencia de toda materia, estudió con espíritu crítico la estructura cósmica, lo que, según explica The New Encyclopædia Britannica, tuvo un efecto decisivo en el progreso del pensamiento científico.
Influencia en la astronomía modernaEl astrónomo
Tycho Brahe anotó minuciosamente durante largo tiempo observaciones planetarias. Cuando leyó
El misterio cosmográfico, quedó impresionado con la
percepción matemática y astronómica de Kepler y le invitó a trabajar con él en Benatky, localidad cercana a Praga.
Al verse obligado a tener que abandonar Graz debido a la
intolerancia religiosa, Kepler aceptó la invitación.
Al
fallecer Brahe, Kepler le sucedió como
matemático imperial de Rodolfo II y analizó las medidas sobre la posición de los planetas. Las
medidas del movimiento de Marte, en particular de su
movimiento retrógrado, fueron esenciales para que pudiera formular las tres
leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas.
Posteriormente, estas leyes sirvieron de base a la ley de gravitación universal de Newton.
Crisis históricasLa matemática ha pasado por
tres crisis históricas importantes:[11]
(1)
El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos, la existencia de los números irracionales que de alguna forma debilitó la filosofía de los pitagóricos.
(2)
La aparición del cálculo en el siglo XVII, con el temor de que fuera ilegítimo manejar infinitesimales.
(3)
El hallazgo de las antinomias, como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX, que atacaban los mismos cimientos de la materia.
Grandes Matemáticos de la historiaPitágoras: (582-500 a.C.). Fundador de la escuela Pitagórica, cuyos principios se regian por el amor a la sabiduria, a las matemáticas y música.
Inventor del Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa
(el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Además del teorea anteriormente mencionado, también invento una tabla de multiplicar.
Tales de Mileto: (hacia el 600 a.C.). Matemático- Geomatra griego. Considerado uno de los siete sabios de Grecia.
Inventor del Teorema de Tales, que establece, que si a un triángulo cualquiera le trazamos una paralela a cualquiera de sus lados, obtenemos 2 triángulos semejantes.
Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados son proporcionales, es decir, que la igualdad de los cocientes equivale al paralelismo.
Este teorema establece así una relación entre el álgebra y la geometría.
Euclides: (aproximadamente 365-300 a.C.). Sabio griego, cuya obra "Elementos de Geometría", esta considerada como el texto matemático más importante de la historia.
Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:
- La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
- En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.
Arquímedes: (287-212 a.C.). Fue el matemático más importante de la Edad Antigua. También conocido por una de sus frases: "Eureka, eureka, lo encontre".
Su mayor logro, fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe.
Su principio más conocido fue el Principio de Arquímedes, que consiste en que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido que desaloja.Fibonacci: (1170-1240). Matemático italiano que realizo importantisimas aportaciones en los campos matemáticos del álgebra y la teoría de números.
Inventor de la Sucesión de Fibonacci, que consiste es una sucesión infinita de números naturales.
René Descartes: (1596-1650). Matemático francés, que escribio una obra sobre la
teoría de las ecuaciones, en la cual se incluía, la regla de los signos, para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Invento una de las ramas de las matemáticas, la
geometría analítica.
Isaac Newton: (1643-1727). Matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica. Abordó el
teorema del binomio, a partir de los trabajos de
John Wallis, y desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones. Abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las
derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones.
Galileo Galilei: (1564-1642). Matemático italiano, cuyo principal logro fue, el crear un
nexo de unión entre las matemáticas y la mecánica. Fue el descubridor de la ley de la isocronía de los péndulos. Se inspira en Pitágoras, Platón y Arquímedes y fue
contrario a Aristoteles.Blaise Pascal: (1623-1662). Matemático francés que formuló uno de los teoremas básicos de la geometría proyectiva, que se denomino como Teorema de Pascal y que el mismo llamo Teoría matemática de la probabilidad.
Leonhard Euler: (1707-1783). Matemático suizo que realizó importantes descubrimientos en el campo del cálculo y la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático,
como por ejemplo la noción de función matemática.Paolo Ruffini: (1765-1822). Matemático italiano que estableció las bases de la teoría de las
transformaciones de ecuaciones, descubrió y formuló la regla del cálculo aproximado de las raíces de las ecuaciones,y su más importante logro, invento lo que se conoce como Regla de Ruffini, que permite hallar los coeficientes del resultado de la división de un polinomio por el binomio (x - r).
Carl Friedrich Gauss: (1777-1855). Matemático alemán al que se le conoce como "
el principe de las matemáticas". Ha contribuido notablemente en varias áreas de las matemáticas, en las que destacan la teoría de números, el análisis matemático, la
geometría diferencial.
Fue el primero en probar rigurosamente el Teorema Fundamental del Álgebra. Invento lo que se conoce como
Método de Gauss, que lo utilizó para resolver sistemas de
tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.La inspiración, las matemáticas puras y aplicadas y la estéticaSir Isaac Newton (1643-1727), comparte con Leibniz la autoría del desarrollo del cálculo integral y diferencialLas matemáticas surgen cuando hay problemas difíciles en los que intervienen la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio de los objetos.
Al principio, las matemáticas se encontraban en el comercio, en la medición de los terrenos y, posteriormente, en la astronomía.
Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemáticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemáticas.
Por ejemplo, el físico Richard Feynman inventó la integral de caminos de la mecánica cuántica, combinando el razonamiento matemático y el enfoque de la física.
Hoy la teoría de las cuerdas, una teoría científica en desarrollo que trata de unificar las cuatro fuerzas fundamentales de la física, sigue inspirando a las más modernas matemáticas.[12]
Algunas matemáticas solo son relevantes en el área en la que estaban inspiradas y son aplicadas para otros problemas en ese campo. Sin embargo, a menudo las
matemáticas inspiradas en un área concreta resultan útiles en muchos ámbitos, y se incluyen dentro de los conceptos matemáticos generales aceptados.
El notable hecho de que incluso la matemática más pura habitualmente tiene aplicaciones prácticas es lo que
Eugene Wigner ha definido como la irrazonable eficacia de las matemáticas en las Ciencias Naturales.[13]
Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión de los conocimientos en la era científica ha llevado a la
especialización de las matemáticas.
Hay una importante distinción entre las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas.La mayoría de los matemáticos que se dedican a la investigación se centran únicamente en una de estas áreas y, a veces, la elección se realiza cuando comienzan su licenciatura. Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han fusionado con otras areas tradicionalmente fuera de las matemáticas y se han convertido en disciplinas independientes, como pueden ser la estadística, la investigación de operaciones o la informática.
Aquellos que sienten predilección por las matemáticas, consideran que prevalece un aspecto estético que define a la mayoría de las matemáticas.
Muchos matemáticos hablan de la elegancia de la matemática, su intrínseca estética y su belleza interna.
En general, uno de sus aspectos más valorados es la simplicidad. Hay belleza en una simple y contundente demostración, como la demostración de Euclides de la existencia de infinitos números primos, y en un elegante análisis numérico que acelera el cálculo, así como en la
transformada rápida de Fourier.
G. H. Hardy en A Mathematician's Apology (Apología de un matemático) expresó la convicción de que estas consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras.[14] Los matemáticos con frecuencia se esfuerzan por encontrar demostraciones de los teoremas que son especialmente elegantes, el excéntrico matemático Paul Erdős se refiere a este hecho como la búsqueda de pruebas de "El Libro" en el que Dios ha escrito sus demostraciones favoritas.[15] [16] La popularidad de la matemática recreativa es otra señal que nos indica el placer que produce resolver las preguntas matemáticas.
Notación, lenguaje y rigorNotación matemáticaLa mayor parte de la notación matemática que se utiliza hoy en día no se inventó hasta el siglo XVIII.[17]
Antes de eso, las
matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limita el avance matemático.
En el siglo XVIII, Euler, fue responsable de muchas de las notaciones empleadas en la actualidad. La notación moderna hace que las matemáticas sean mucho más fácil para los profesionales, pero para los principiantes resulta complicada.
La notación reduce las matemáticas al máximo, hace que algunos símbolos contengan una gran cantidad de información.
Al igual que la notación musical, la notación matemática moderna y tiene una sintaxis estricta y codifica la información que sería difícil de escribir de otra manera.El lenguaje matemático también puede ser difícil para los principiantes. Palabras tales como o y sólo tiene significados más precisos que en lenguaje cotidiano.
Además, palabras como abierto y cuerpo tienen significados matemático muy concretos.
La jerga matemática incluye términos técnicos como
homeomorfismo o integrabilidad.La razón que explica la necesidad de utilizar la notación y la jerga es que
el lenguaje matemático requiere más precisión que el lenguaje cotidiano. Los matemáticos se refieren a esta precisión en el lenguaje y en la lógica como el "rigor".
El rigor es una condición indispensable que debe tener una demostración matemática.
Los matemáticos quieren que sus teoremas a partir de los axiomas sigan un razonamiento sistemático. Esto sirve para evitar teoremas erroneos, basados en
intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la historia de esta ciencia.[18]
El nivel de rigor previsto en las matemáticas ha variado con el tiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, pero en tiempos de Isaac Newton los métodos empleados eran menos rigurosas. Los problemas inherentes de las definiciones que Newton utilizaba dieron lugar a un resurgimiento de un análisis cuidadoso y a las demostraciones oficiales del siglo XIX. Ahora, los matemáticos continúan apoyándose entre ellos mediante demostraciones asistidas por ordenador.[19]
Un axioma se interpreta tradicionalmente como una "verdad evidente", pero esta concepción es problemática. En el ámbito formal, un axioma no es más que una cadena de símbolos, que tiene un significado intrínseco sólo en el contexto de todas las fórmulas derivadas de un sistema axiomático.
La matemática como cienciaCarl
Friedrich Gauss, (...) se refería a la matemática como "
la reina de las ciencias"..[20] Tanto en el latín original Scientiarum Regina, así como en alemán
Königin der Wissenschaften, la palabra ciencia debe ser interpretada como (campo de) conocimiento.
Si se considera que la ciencia es el estudio del mundo físico, entonces las matemáticas, o por lo menos matemáticas puras, no son una ciencia.Muchos filósofos creen que las matemáticas no son experimentalmente falseables, y, por tanto, no es una ciencia según la definición de Karl Popper.[21]No obstante, en la década de 1930 una importante labor en la lógica matemática demuestra que
las matemáticas no puede reducirse a la lógica, y
Karl Popper llegó a la conclusión de que "
la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de física y biología, hipotético-deductivas. Por lo tanto,
las matemáticas puras se han vuelto más cercanas a las ciencias naturales cuya hipótesis son conjeturas, así ha sido hasta ahora".[22]
Otros pensadores, en particular Imre Lakatos, han solicitado una versión de Falsacionismo para las propias matemáticas.
Una visión alterantiva es que determinados campos científicos (como la física teórica) son matemáticas con axiomas que pretenden corresponder a la realidad.
De hecho, el físico teórico, J. M. Ziman, propone que la ciencia es conocimiento público y, por tanto, incluye a las matemáticas.[23]
En cualquier caso, las matemáticas tienen mucho en común con muchos campos de las ciencias físicas, especialmente la
exploración de las consecuencias lógicas de las hipótesis.
La intuición y la experimentación también desempeñan un papel importante en la formulación de conjeturas en las matemáticas y las otras ciencias.
Las matemáticas experimentales siguen ganando representación dentro de las matemáticas. El cálculo y simulación están jugando un papel cada vez mayor tanto en las ciencias como en las matemáticas, atenuando la objeción de que las matemáticas se sirven del método científico.
En 2002 Stephen Wolfram sostiene, en su libro Un nuevo tipo de ciencia, que la matemática computacional merece ser explorada empíricamente como un campo científico.Las opiniones de los matemáticos sobre este asunto son muy variadas.
Muchos matemáticos consideran que llamar a su campo ciencia es minimizar la importancia de su perfil estético, además supone negar su historia dentro de las siete artes liberales.
Otros consideran que hacer caso omiso de su conexión con las ciencias supone ignorar la evidente conexión entre las matemáticas y sus aplicaciones en la ciencia y la ingeniería, que ha impulsado considerablemente el desarrollo de las matemáticas.Otro asunto de debate, que guarda cierta relación con el anterior, es si la matemática fue creada (como el arte) o descubierta (como la ciencia). Este es uno de los muchos temas de incumbencia de la filosofía de las matemáticas.
Los premios matemáticos se mantienen generalmente separados de sus equivalentes en la ciencia.
El más prestigioso premio dentro de las matemáticas es la Medalla Fields, [24] [25] fue instaurado en 1936 y se concede cada 4 años.A menudo se le considera el equivalente del Premio Nobel para la ciencia.
Otros premios son el Premio Wolf en matemática, creado en 1978, que reconoce el logro en vida de los matemáticos, y el Premio Abel, otro gran premio internacional, que se introdujo en 2003.
Estos dos últimos se conceden por un excelente trabajo, que puede ser una investigación innovadora o la solución de un problema pendiente en un campo determinado.
Una famosa lista de esos 23 problemas sin resolver, denominada los "Problemas de Hilbert", fue recopilada en 1900 por el matemático alemán David Hilbert.
Esta lista ha alcanzado gran popularidad entre los matemáticos y, al menos, nueve de los problemas ya han sido resueltos.
Una nueva lista de siete problemas fundamentales, titulada "Problemas del milenio", se publicó en 2000.La solución de cada uno de los problemas será recompensada con 1 millón de dolares.
Curiosamente, tan solo uno (la Hipótesis de Riemann) aparece en ambas listas.
RamasLas numerosas ramas de la matemática están muy interrelacionadas. En una subdivisión amplia de las matemáticas, se distinguen cuatro objetos de estudio básicos:
la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio.Los diferentes tipos de
cantidades (números) han jugado un papel obvio e importante en todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del desarrollo de la cultura, la ciencia y la tecnología.
El estudio de la
estructura comienza al considerar las diferentes
propiedades de los números, inicialmente los números naturales y los números enteros. Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. Después, la organización de conocimientos elementales produjo los
sistemas axiomáticos (teorías), permitiendo el descubrimiento de conceptos estructurales que en la actualidad dominan esta ciencia (e.g. estructuras categóricas). La investigación de
métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante
concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio.
El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría. En su faceta avanzada el surgimiento de la
topología da la necesaria y correcta manera de pensar acerca de las nociones de cercanía y continuidad de nuestras concepciones espaciales.
Derivada. La comprensión y descripción del
cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y del
cálculo.Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una
cantidad y su tasa de cambio, se estudian las
ecuaciones diferenciales y de sus soluciones.
Los números usados para representar las cantidades continuas son los números reales.
Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función matemática.Los conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton y Leibniz, representan un papel clave en este estudio, que se denomina Análisis. Es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al análisis complejo.
El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto.Un campo importante en matemática aplicada es el de la estadística, que permite la descripción, el análisis de probabilidad y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias.
El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.
A continuación se muestra una lista de las ramas interrelacionadas de las matemáticas:
Fundamentos y métodos
Teoría de conjuntos, lógica matemática, teoría de categorías.
Investigación operativa
Teoría de grafos, teoría de juegos, programación entera, programación lineal,
Simulación, optimización, método simplex, programación dinámica. Números Números naturales, números enteros, números racionales, números irracionales, número reales, números complejos, cuaterniones, octoniones, sedeniones, números hiperreales, números infinitos, dígito, sistema de numeración, número p-ádico.
Análisis, continuidad y cambio Cálculo, cálculo vectorial, análisis, ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y teoría del caos, funciones, logaritmo, sucesiones, series, análisis real, Análisis complejo, análisis funcional, algebra de operadores.
Estructuras Algebra abstracta, teoría de números, álgebra conmutativa, geometría algebraica, teoría de grupos, monoides, análisis, topología, álgebra lineal, teoría de grafos, teoría de categorías.
Espacios Topología, geometría, teoría de haces, geometría algebraica - Geometría diferencial - Topología diferencial - Topología algebraica - Álgebra lineal - Cuaterniones y rotación en el espacio
Matemática discretaCombinatoria, Teoría de conjuntos - Probabilidad - Estadística - Teoría de la computación - Criptografía - Teoría de grafos - Teoría de juegos.
Matemática aplicadaEstadística, matemática discreta, física matemática, matemática financiera, teoría de juegos, optimización, análisis numérico, Lógica difusa.
Conceptos erróneosLo que cuenta como conocimiento en matemática no se determina mediante experimentación, sino
mediante demostraciones.No es la matemática, por lo tanto, una rama de la física (la ciencia con la que históricamente se encuentra más emparentada),
puesto que la física es una ciencia empírica.
Por otro lado, la experimentación desempeña un papel importante en la formulación de conjeturas razonables, por lo que no se excluye a ésta de la investigación en matemáticas.
La matemática no es un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya esté hecho. Aún existen gran cantidad de problemas esperando solución, así como una infinidad esperando su formulación.
Matemática no significa contabilidad. Si bien los cálculos aritméticos son importantes para los contables, los avances en matemática abstracta difícilmente cambiarán su forma de llevar los libros.
Matemática no significa numerología. La numerología es una
pseudociencia que utiliza la aritmética modular para pasar de
nombres y fechas a números a los que se les atribuye emociones o significados esotéricos, basados en la intuición.
El lenguaje formal no es una simple extensión de los lenguajes naturales humanos que utiliza una gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relaciones conceptuales y físicas.
Recientemente, los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una dirección diferente: los lenguajes naturales (como el español y el francés) y los lenguajes formales (como el matemático o los lenguajes de programación) son estructuras de naturaleza básicamente diferente.
*
