Una aplicación del método de sustitución

Parte de una explicación del sistema de ecuaciones de León Walras para explicar el equilibrio general del mercado. Los términos P1 y P2 son usados para indicar precios de bienes. Las ecuaciones las procesamos para revisión del uso de signos en la resolución de estas ecuaciones.

100 + 10P1 = 200 - 5P1 + P2

50 + 20P2 = 150 - 10P2 + P1

para hallar los valores de P1 y P2.

Estas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Para resolverlo, podemos usar el método de sustitución, el método de igualación o el método de reducción. En este caso, vamos a usar el método de sustitución, que consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra.

Para empezar, vamos a despejar P1 en la primera ecuación:

100 + 10P1 = 200 - 5P1 + P2

15P1 = 100 + P2

P1 = (100 + P2) / 15

Ahora, vamos a sustituir P1 en la segunda ecuación:

50 + 20P2 = 150 - 10P2 + P1

50 + 20P2 = 150 - 10P2 + (100 + P2) / 15

Multiplicando por 15 ambos lados de la ecuación, tenemos:

750 + 300P2 = 2250 - 150P2 + 100 + P2

Simplificando y ordenando los términos, obtenemos:

449P2 = 1500

Dividiendo por 449 ambos lados de la ecuación, hallamos el valor de P2:

P2 = 1500 / 449

P2 ≈ 3.34

Finalmente, sustituimos el valor de P2 en la expresión de P1 que habíamos obtenido antes:

P1 = (100 + P2) / 15

P1 = (100 + 3.34) / 15

P1 ≈ 6.88

Por lo tanto, los valores de P1 y P2 que satisfacen el sistema de ecuaciones son:

P1 ≈ 6.88

P2 ≈ 3.34

Puntos de historia de la matemática

La historia de la matemática es una rama del conocimiento que estudia el origen y la evolución de los conceptos, métodos, leyes y teorías de la Ciencia de la Cantidad a lo largo del tiempo y en diferentes culturas. La matemática es una ciencia que se ocupa de las relaciones entre cantidades, formas, espacios y cambios, y que tiene aplicaciones en diversas áreas del saber humano, como la física, la astronomía, la ingeniería, la economía, la música y el arte.

La matemática se remonta a los albores de la civilización, cuando los primeros seres humanos empezaron a contar objetos, medir distancias y tiempos, y a reconocer patrones y regularidades en la naturaleza. Las primeras evidencias de actividades matemáticas se encuentran en huesos, conchas y piedras marcadas con notaciones numéricas o geométricas, que datan de hace más de 30.000 años.

Las primeras civilizaciones que desarrollaron sistemas numéricos y escritos fueron las de Mesopotamia, Egipto, India y China, entre el cuarto y el segundo milenio antes de Cristo. Estas culturas crearon las bases de la aritmética, la geometría, el álgebra y la trigonometría, y utilizaron las matemáticas para resolver problemas prácticos relacionados con el comercio, la agricultura, la construcción, la astronomía y el calendario.

La matemática griega se caracterizó por introducir el razonamiento deductivo y la demostración lógica en el estudio de las matemáticas, así como por ampliar el campo de las matemáticas puras, es decir, aquellas que se interesan por los aspectos abstractos y formales de las matemáticas. Los griegos hicieron importantes contribuciones en geometría, teoría de números, análisis y mecánica, y destacaron figuras como Pitágoras, Euclides, Arquímedes y Apolonio.

La matemática árabe o islámica se desarrolló entre los siglos VIII y XV en el contexto del imperio islámico, que abarcaba desde España hasta la India. Los matemáticos árabes preservaron y tradujeron las obras griegas, indias y persas, y aportaron nuevos conceptos y métodos en álgebra, geometría analítica, trigonometría esférica, cálculo infinitesimal y teoría de números. Entre los matemáticos árabes más destacados se encuentran Al-Juarismi, Al-Karayi, Omar Khayyam y Al-Kashi.

La matemática europea u occidental se inició en el renacimiento (siglos XV-XVI), cuando se recuperó el contacto con las fuentes clásicas griegas y árabes. Los matemáticos europeos impulsaron el desarrollo de las matemáticas aplicadas a la física, la astronomía y la navegación, así como de las matemáticas puras con el surgimiento del cálculo diferencial e integral. Entre los matemáticos europeos más relevantes se encuentran Fibonacci, Descartes, Fermat, Pascal, Newton y Leibniz.

La matemática moderna se extiende desde el siglo XVII hasta nuestros días, y se caracteriza por una gran diversificación y especialización de las ramas matemáticas, así como por una mayor abstracción y rigor formal. La matemática moderna ha explorado nuevos campos como el álgebra abstracta, la teoría de conjuntos, la topología, la lógica matemática, la teoría de la computación y la criptografía. Algunos de los matemáticos modernos más influyentes son Euler, Gauss, Cauchy, Riemann, Cantor, Hilbert, Gödel y Turing.

La importancia del álgebra booleana

El álgebra booleana es una rama de la matemática que se ocupa de las operaciones lógicas entre variables binarias, es decir, que solo pueden tomar dos valores posibles: verdadero o falso, 1 o 0, sí o no, etc. El álgebra booleana fue creada por el matemático inglés George Boole en el siglo XIX, y tiene aplicaciones importantes en la electrónica digital, la informática y la lógica.

Conceptos básicos del álgebra booleana

Un álgebra booleana es una estructura algebraica que consta de un conjunto B y dos operaciones binarias: la suma o disyunción y el producto o conjunción, que cumplen las siguientes propiedades:

- Conmutatividad: a + b = b + a   y 

                  a · b = b · a

- Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c)   y 

                 (a · b) · c = a · (b · c)

- Distributividad: a · (b + c) = (a · b) + (a · c)   y 

                   a + (b · c) = (a + b) · (a + c)

- Elemento neutro: existe un elemento 0 tal que:

                  a + 0 = a 

                   y un elemento 1 tal que:

                  a · 1 = a

- Elemento complementario: para cada elemento a existe un elemento a' tal que:

                     a + a' = 1   y 

                     a · a' = 0

- Idempotencia: a + a = a   y 

                a · a = a

Además de estas operaciones, se pueden definir otras operaciones derivadas, como la negación o complemento (¬), la resta o diferencia (-), la implicación o condicional (→), la equivalencia o bicondicional (↔), la disyunción exclusiva o suma módulo 2 (⊕), etc.

Ejemplos de álgebras booleanas

Existen varios ejemplos de álgebras booleanas, como los siguientes:

- El conjunto {0, 1} con las operaciones usuales de suma y producto módulo 2.

- El conjunto de los subconjuntos de un conjunto dado, con las operaciones de unión e intersección de conjuntos.

- El conjunto de las proposiciones lógicas, con las operaciones de disyunción lógica o "o" (∨) y conjunción lógica o "y" (∧).

Aplicaciones del álgebra booleana

El álgebra booleana tiene diversas aplicaciones en campos como la electrónica digital, la informática y la lógica. Algunas de ellas son:

- El diseño y análisis de circuitos lógicos o digitales, que son dispositivos electrónicos que realizan operaciones lógicas con señales binarias (alto o bajo voltaje).

- La simplificación de expresiones booleanas, que consiste en encontrar una forma equivalente pero más simple de una expresión booleana, usando las leyes y teoremas del álgebra booleana.

- La representación y manipulación de datos binarios en los sistemas informáticos, como los números binarios, los bits, los bytes, etc.

- La construcción y evaluación de tablas de verdad, que son tablas que muestran el valor de verdad de una expresión booleana para todas las posibles combinaciones de valores de sus variables.

Sobre la medición en Economía

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Sobre la medición en Economía.

La medición en Economía, como en toda ciencia y para toda realidad, es central. El punto es que todo, absolutamente todo, para ser caracterizado de la manera más completa, más integral posible, necesita además de ser calificado, ser cuantificado. Se califica con palabras que tipifican las propiedades de las cosas y se cuantifica con números que precisan sus mediciones.

 

La Economía es la Ciencia de la Producción esencialmente. También es la Ciencia de la Apropiación de la Riqueza Social, pero la apropiación es una función derivada de la producción. Una cosa es la tierra, el trabajo y el capital, factores de la producción en la terminología de Smith y siempre con Smith, otra cosa son la renta, los salarios y las ganancias. Así como se entra en el proceso productivo, dice Marx, así se sale remunerado.

 

La Economía ha desarrollado teorías y sistemas de medición de la producción y la apropiación de la riqueza social. Y tan importante ha sido esta dimensión que se han configurado disciplinas de la Ciencia denominadas Economía Matemática, Econometría, Economía Administrativa, Contabilidad Social o Contabilidad Nacional. Y más de algún economista como Jevons pudo llegar a considerar que la Economía es una rama de la Matemática, "simplemente porque trata con números".

 

La verdad es que los grandes economistas han sido fundamentalmente filósofos y no matemáticos. La Matemática es principalmente un instrumento de las Ciencias, de todas y no las Ciencias un instrumento de las Matemáticas. Naturalmente que la Matemática tiene su propìa independencia, su propio objeto de estudio. Es una Ciencia en Sí, pero el Para Sí de esta ciencia no implica que las otras ciencias se subordinen a ella. Es la matemática que surge y se desarrolla supeditada a las otras ciencias. La humanidad ya no cree que todo puede reducirse a triangulos como los antiguos griegos en el umbral de la ciencia y menos que las leyes de la Matemática sean las mismas que las Leyes de la Economía, la Política o la Sociología.

 

Evaristo Hernández

Septiembre 2012

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Geometría No Euclidiana

La división principal de la Geometría (ciencia con la que se inicia el pensamiento matemático en Egipto Antiguo midiendo las inundaciones del Rio Nilo para efectos de tasación de impuestos) se refiere a dos momentos históricos: Geometría Euclidiana y Geometría No Euclidiana.

Para efectos de una exposición simple, a nosotros nos satisface caracterizar que la diferencia se debe a que Euclides no incorporó en sus análisis elementos de la redondez de la tierra y del Universo en sus análisis geométricos, simplemente porque estos descubrimientos no se habían producido en su época (300 años antes de Cristo).

La Geometría No Euclidiana ya incorpora estos descubrimientos que son producto de los avances tecnológicos en la navegación y los instrumentos de observación del espacio sideral. La descripción gráfica de estas nuevas realidades descubiertas revela las limitaciones de la Geometría de Euclides, que sin embargo sigue vigente para los elementos planos del mundo y la vida.

Un resumen de los conceptos de Geometría que referimos arriba se encuentra en:

http://es.geocities.com/eucliteam/Geometria_no_Euclidea.html

Y dice:

Geometría no euclídea

Geometría no euclídea, rama de la geometría basada en axiomas diferentes de los utilizados por Euclides en sus Elementos de geometría. Uno de los postulados de la geometría plana de Euclides nos dice que sólo se puede dibujar una línea recta paralela a otra recta que pase por un punto exterior a ésta; estas dos rectas nunca se encuentran por mucho que las extendamos en ambos sentidos. Durante muchos siglos los matemáticos creyeron que este postulado se podía demostrar utilizando el resto de los postulados, pero los esfuerzos para probarlo fueron inútiles. A principios del siglo XIX, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss, el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski y el húngaro János Bolyai demostraron por separado la posibilidad de construir un sistema geométrico coherente, en el que el postulado de la paralela única de Euclides se reemplaza por otro que nos dice que se puede dibujar un número infinito de paralelas a una recta que pasan por un punto exterior a ésta. Más tarde, alrededor de 1860, el matemático alemán Bernhard Riemann mostró que una geometría en la que no existen líneas paralelas también es posible. Los detalles de estos dos tipos de geometría no euclídea son complejos, pero ambos se pueden demostrar utilizando modelos sencillos.

La geometría Bolyai-Lobachevski, llamada normalmente geometría no euclídea hiperbólica, describe la geometría de un plano que está formado sólo por los puntos interiores de un círculo en el que todas las posibles líneas rectas son cuerdas del círculo. Como se ve en la figura 1, se puede dibujar un número infinito de líneas paralelas a la línea L que pasen por el punto P sin que se corten.

De la misma manera, la geometría riemanniana o no euclídea elíptica, es la geometría de la superficie de una esfera en la que todas las líneas rectas son círculos máximos. La figura 2 muestra la imposibilidad de dibujar un par de líneas paralelas en esta superficie.

Para distancias relativamente pequeñas, la geometría euclídea y las no euclídeas son esencialmente equivalentes. Sin embargo, al trabajar con el espacio astronómico o con problemas de la física moderna como la relatividad o la teoría de propagación de ondas, las geometrías no euclídeas dan una descripción más precisa que la euclídea de los fenómenos observados. Por ejemplo, la teoría de la relatividad desarrollada principalmente por Albert Einstein está basada en una geometría riemanniana de espacio curvo.

Enseñanza de Matemática para Economistas

Notas para una discusión

Sobre la enseñanza de la Matemática en la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de El Salvador.
Octubre 2006
I. Nota para recordar la “matemática pura” de Areas Comunes.
Examinemos a grandes rasgos y para iniciar un proceso de discusión el caso de la enseñanza de la Matemática en la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de El Salvador en el año 2006.

Todo proceso educativo contiene intereses de información y formación, dependiendo de las estructuras de poder Estatal, que a su vez expresan intereses económicos dominantes.

La política educativa nacional la fija el Estado, en sus contenidos y objetivos. En el caso de la Universidad de El Salvador, en un tortuoso proceso de lucha social, la política de educación superior es determinada de manera autónoma. Constitucionalmente y en la Ley Orgánica de la Universidad de El Salvador, se garantiza su autonomía en lo docente, lo económico y lo administrativo. Pese a ello, no hemos podido transformar la enseñanza de la matemática para que tenga objetivos y contenidos que propicien nuestra capacidad creativa, espíritu crítico y destreza analítica para transformar positivamente nuestra realidad.

La enseñanza de la matemática en la Universidad de El Salvador y en la Facultad de Ciencias Económicas continúa con los patrones de las Areas Comunes, disueltas a finales de la década del 60 principalmente por un movimiento estudiantil que conmovió las bases de la enseñanza de la Matemática. En las Areas Comunes se “uniformizó” el contenido de los programas de Matemática, sin orientación aplicada, enfatizando en los aspectos de la “matemática pura”, despojada de su contenido histórico, sociológico, lógico, filosófico, físico, económico para mencionar solamente algunas ciencias con las cuales la matemática tiene relación, en algunos casos de dependencia directa, es decir, que no se puede saber Matemática si no se sabe, por ejemplo, su origen filosófico o el contexto histórico en que surgieron las teorías matemáticas. No puede existir un buen matemático que no conozca las bases de la filosofía y de la epistemología de la matemática o la historia, cronológica, pero sobre todo, lógica, de la matemática.


II. Enseñanza de la Algoritmia como enseñanza de la Matemática.
Hasta nuestros días predomina la enseñanza de la Matemática en solamente una de sus dimensiones: la Algoritmia. La Algoritmia, tenemos entendido, deriva su nombre de Al Juarismi, matemático de la Edad Media, que realizó contribuciones precursoras del cálculo y se refiere a la rama de la metodología matemática que consiste en la resolución técnica, operatoria, de problemas. Como en toda ciencia, la técnica matemática está supeditada al problema que se quiere resolver, y el problema a la situación concreta que se quiere resolver. De manera que al final de las cosas en el mundo de la matemática como en el mundo de toda ciencia, el principio es la situación concreta que se quiere resolver planteada en forma de problema, matemático, en este caso.

Nuestros profesores de matemática son en su mayoría graduados de otras disciplinas diferentes a las relacionadas con la Ciencia Económica: Ingenieros en Electricidad, Química, Civil o Licenciados en Matemática. En el mejor de los casos tienen formación y vocación pedagógica. En general tienen desconocimiento de la Economía, de la Administración y de la Contaduría. Y este desconocimiento, a nuestro juicio, los ha llevado a “ensimismarse”, a refugiarse en la enseñanza de la algoritmia pura, la operatoria por la operatoria, sin partir de aplicaciones de resoluciones de problemas de economía, administración y contaduría concretos que son, en el caso de nuestra Facultad, el principio y el fin enriquecedor de nuestra ciencia y de la matemática, porque hay que decirlo, ya existen aportes científicos a la matemática como ciencia, por parte de científicos que han hecho de la economía su preocupación central. (Wicksell, Pareto, Leontieff, entre los más destacados).

Un ejemplo de las deficiencias en la enseñanza de la Matemática puede ilustrarse con el examen de un caso relacionado con los objetivos de un curso de matemática, sin sentido integrador teórico y menos aplicado. En un curso de matrices hace algunos años, el objetivo era que los estudiantes resolvieran una matriz 2 por 2 en 20 minutos, quizás se pusieron los 20 porque la matriz era 2 por 2, de igual forma se pudieron poner 22 minutos. El profesor no pudo resolver una matriz 2 por 2 en 20 minutos, quizás para conservar lo cabalístico de la cifra, se tardó dos días en resolverla. ¿Era incapaz el profesor? Probablemente sí por dos motivos: porque no pudo resolver el problema en menos tiempo que el que exige para sus estudiantes y porque el profesor contravenía la finalidad en el proceso de enseñanza aprendizaje: se trata de que el estudiante desarrolle su “sofía”, su amor por la sabiduría y con este tipo de finalidades y “problemas” en la educación Matemática se fomenta el rechazo y no la simpatía por el estudio de la Ciencia. Una computadora resuelve el problema, como se le demostró al mencionado profesor, en 2 segundos, con los datos ya introducidos y no por ello la computadora es más inteligente que el más atrasado de sus estudiantes. La inteligencia matemática es una de las inteligencias del ser humano, pero la hemos tomado erróneamente como toda la inteligencia. La enseñanza matemática no debe, a nuestro juicio, pretender que los estudiantes superen el programa “Excel” o el “SPSS”, por ejemplo, sino que sepan usarlos para resolver problemas concretos de la Economía, la Administración y la Contaduría.

III. Principales problemas detectados.

· Reprobaciones masivas en matemática: en el ciclo pasado, de 8 grupos que reprobaron más del 60% de estudiantes, 6 eran de Matemática y de ellos en 3 se reprobaron cerca del 75% de estudiantes. este daño a la autoestima y al futuro de estudiantes se produce desde hace mucho tiempo en la enseñanza de la Matemática. Este caso es más grave cuando los estudiantes han culminado sus estudios y egresan con una materia de Matemática que reprueban en tercera matrícula, pues no tienen más opción que cambiar de carrera o irse para otra Universidad y solicitar equivalencias.

· Se han presentado denuncias de acoso sexual relacionados con la enseñanza de la Matemática.

· Se ha presentado denuncias de acoso académico con el propósito de reducir la cantidad de estudiantes en ciertas materias de Matemática presumiblemente con el propósito de atender grupos poco numerosos.

· Se señala generalizadamente que la enseñanza de la Matemática carece de aplicaciones en la Ciencia Económica.

· Se comenta generalizadamente que la enseñanza de la matemática ha propiciado el cobro por enseñanza privada.

· Se plantea que los horarios de clase no se establecen a partir de las necesidades de los estudiantes. Esto es para todas las materias incluyendo Matemática.

IV. Principales soluciones propuestas.

1. Aplicar el método histórico en la enseñanza de la Matemática.

El Método histórico consiste en:
· Definir conceptualmente el tema (calculo, matriz, derivada) y las teorías principales que lo explican, ubicando los principales científicos que trataron y aportaron en la temática.
· Examinar el desarrollo histórico de la temática, en su orden cronológico y lógico, lo que dependerá la capacidad de síntesis del profesor y de su cultura histórica sobre el tema.
· Exponer los elementos básicos de la teoría actual sobre la temática, y realizar aplicaciones básicas de la matemática en el campo de las ciencias económicas, especialmente Economía (Macroeconomía, Microeconomía, Teoría de la Empresa, Competencia, Lógica Matemática de los Estados Financieros, Punto de Equilibrio, entre otros).
· Dar al estudiante una perspectiva de la matemática aplicada a las Ciencias Económicas. inducirlo a que trabaje con la Internet en la investigación Matemática.

2. Metodología de la enseñanza.

· Desarrollar en la enseñanza de la Matemática el método de la investigación para efectos de exámenes. Los estudiantes investigan la temática y se les examina conforme lo que han investigado, señalado en el programa.

· Se utiliza siempre el método histórico, a fin de contextuar y racionalizar la parte algorítmica de la evaluación. esto evitaría las reprobaciones masivas sin implicaciones en la reducción del nivel académico, por el contrario se elevaría el nivel académico porque tanto docentes como estudiantes indagarían y explicarían el proceso histórico de los problemas matemáticos y se evitarían las reprobaciones masivas resultantes de las “trampas” matemáticas o porque no recuerdan álgebra y casos de factoreo.

· Ubicar académicamente el Departamento de Matemática y Estadística con completa claridad como una Dependencia de la Escuela de Economía. La Matemática y Estadística son materias científicas instrumentales necesarias de las carreras de la Facultad de Ciencias Económicas, pero no son el eje central. Deben agruparse como un rubro de ciencias de apoyo o ciencias básicas, junto con la Sociología, Filosofía y Técnicas de Investigación bajo la dirección un profesional de la Economía.

· Propiciar la transparencia en la enseñanza de la Matemática. El educador debe ser cristalino en las dificultades para preparar la materia: si tiene un libro básico en el que se apoya, del cual “saca los problemas más difíciles” debe darlo a conocer a sus estudiantes. Y los estudiantes si descubren una fuente de información o formación matemática deben darlo a conocer a compañeros y profesores.

· Combatir elementos deformadores del proceso de enseñanza aprendizaje que transgredan el principio del trabajo y la capacidad. La critica del profesor y del estudiante debe ser fundamentada y examinada abiertamente combatiendo represalias académicas derivadas de la critica o promociones derivadas de otro tipo de relación diferente al rendimiento académico, como dar puntos de laboratorios o exámenes por donar sangre u otra actividad.

· Combatir la deformación del acoso sexual en el proceso de enseñanza-aprendizaje tanto de la Matemática como de cualquier otra materia en la Escuela de Economía y en las demás Escuelas.

· Resolver de manera humana pero firme el caso del deterioro de la imagen profesional del personal docente de la Escuela de Economía y del Departamento de Matemática y Estadística por comportamientos indebidos y tolerados por mucho tiempo de un educador que se encuentra en tratamiento medico psiquiátrico.

· Propiciar y solicitar el desarrollo de un proceso de pre inscripción que indique las preferencias de horarios por parte de los estudiantes dirigido por la Asociación de Estudiantes de Ciencias Económicas para la Escuela de Economía.

· Iniciar el proceso que en que la enseñanza de la Matemática en la Escuela de Economía sea desarrollado con docentes que sean economistas con formación matemática.

Justificación

Este blog nace de una frustración. Durante nuestra enseñanza universitaria, en los primeros años nos percatamos de que recibíamos una enseñanza matemática carente de aplicación, de sentido útil en la vida profesional que estabamos persiguiendo.

Desde la secundaria se nos decía que la Matemática era una ciencia que nos educaba en el razonamiento lógico. Bueno...razonábamos que para ello está la lógica y tal como registramos para nosotros mismos que la enseñanza matemática que recibíamos no se diferenciaba en cuanto a problemas "lógicos" de la enseñanza del ajedrez...aunque es difícil comprender que se necesite Ajedrez I o Ajedrez II, como materias de requisitos curriculares en una profesión universitaria.

Hemos batallado para librarnos de la "lobotomía" que nos hicieron, en que nos memorizamos una matemática abstracta, que nos bloqueó la mente y la actitud positiva y nos predispuso a la utilización creativa de la matemática. La matemática es una ciencia tan necesaria que por lo demás usamos todos los días, como usamos los fundamentos de otras ciencias.

Iniciamos desde nuestra época de jóvenes estudiantes y por nuestra cuenta un molesto y modesto esfuezo por comprender la matemática y encontramos cosas muy simples, nos parece, válidas para el apredizaje de todas las ciencias. Queremos compartir nuestra experiencia en el estudio de la Matemática.

Esperamos que sea de utilidad para otras personas que como nosotros hemos tenido de manera inducida una frustración con una apasionante y necesaria ciencia, la ciencia de la cantidad.

Un método para estudio de la Matemática

Un método de estudio, que puede y debe ser utilizado en toda ciencia, es el método histórico. Este método nos indica que todo fenómeno debe ser primeramente identificado por medio de una definición. La definición transita de lo impreciso a lo preciso, desde la idea general a la categoría científica, conforme vamos estudiando.

También el método histórico nos indica una cosa muy evidente, pero quizás por ser evidente, no nos detenemos en ella: todo fenómeno tiene su origen, su pasado, su presente y su futuro. Del estudio de un fenómeno, cuando conocemos cómo se desenvuelve, de dónde viene y hacia dónde va, desprendemos nuestras conclusiones sobre el mismo y sacamos las recomendaciones y aplicaciones para mejorar nuestra vida y la de nuestros semejantes. Esta comprensión muy simple de las cosas está ausente en la enseñanza matemática, al menos en la forma en que muchos la recibimos: es difícil recordar un profesor que empezó dándonos una definición precisa de la matemática, menos uno que conociera historia de la matemática y nos narrara como una novela cómo surgieron los más complicados problemas de la matemática en pensadores que como cualquiera de nosotros tenían problemas económicos y amorosos, biológicos, emocionales y mentales. Menos aún, que nos enseñara que las tremendas complicaciones operatorias hoy se resuelven con programas computacionales cada vez más accesibles, y nos indicara que la finalidad de la matemática no es perdernos viendo el árbol de un artificio matemático, puesto como trampa en un examen, sino que la finalidad de la matemática es que veamos el bosque de la vida en sus diferentes dimensiones y su expresión en números que de manera simple y compleja nos sirva para caracterizar de mejor manera una realidad para transformarla. Nos enseñaron la matemática al revés dándole más importancia al árbol y eso nos ha dificultado ver el bosque.

De manera que separaremos este blog en Definiciones, Pasado, Presente, Futuro, Conclusiones y Recomendaciones para el estudio y aplicaciones de la Matemática.

Concepto de Matemática

Siempre es necesario considerar que tanto en el conocimiento corriente como en el conocimiento científico el estudioso se mueve de las cosas que son de entendimiento fácil a las cosas que son de entendimiento difícil. El pensamiento es un va y viene entre lo simple y lo complicado. Por ello siempre tenemos que "tener a mano", valga la redundancia, la definición simple o fácil de las cosas y siempre debemos regresar a ella, aún cuando hayamos avanzado considerablemente en nuestro conocimiento.

La forma de iniciar la creación de ideas simples en nuestro entendimiento con el propósito de encausarlas hacia el desarrollo de ideas más acabadas y depuradas, es contar con un buen diccionario que nos trace una imagen general, un panorama de la materia que queremos estudiar.

En el caso de la Matemática una de las definiciones aceptablemente buenas podría ser la que aparece en:

http://es.wikipedia.org/wiki/Matemática

La matemática es la ciencia de la cantidad.

Toda ciencia es un conocimiento estructurado, relacionado lógicamente que refleja e interpreta el comportamiento de la realidad. Y la realidad es una amalgama de hechos de la naturaleza, de la sociedad y del pensamiento que necesitamos caracterizarlos por medio de la descripción y el análisis de sus cualidades y de sus cantidades.

La cualidad se expresa con palabras que de manera escrita se presentan en el alfabeto; la cantidad se expresa con palabras que de manera escrita se presentan como sistema de numeración. De las cualidades generales de los fenómenos se encarga la filosofía, como ciencia y de las cantidades generales de los fenómenos se encarga la matemática como ciencia. ¿Para qué? Para conocer sistemáticamente las cosas, para no dar palos de ciego, en la vida y en la acción y contribuir con el conocimiento científico de las cosas a mejorar las condiciones de vida del ser humano, incluyendo la nuestra con mejores retribuciones de acuerdo a la profundidad de nuestro conocimiento.

Limitaciones matemáticas

Un interesante y sugestivo estudio sobre la aplicación de las Matemáticas en Economía puede encontrarse en:

http://www.uam.es/otroscentros/klein/stone/fiirs/cuadernos/pdf/FIIRS001.PDF

El autor, aunque se inclina a nuestro juicio a enfatizar la necesidad del uso de la matemática, advierte sobre las limitaciones en el uso de la misma.

Recuerda que algunos "matemáticos" (así, entre comillas a mi juicio) han llegado a decir que lo que falla no es el modelo matemático que han construido sino la realidad que pretenden interpretar.

Un profesor de la Universidad de Yale (como si esto fuera el criterio de la verdad) sostiene que la Economía que no es Matemática es Economía Especulativa. De acuerdo a este profesor de Yale, quizás habría que decir: "Pobre Smith, pobre Ricardo, Pobre Mill, Pobre Malthus, Pobre Marx, Pobre Engels, incluso Pobre Menger, para quienes la sustancia de sus trabajos no es la especulación matemática, sino la especulación filosófica y social. Y son los fundadores de nuestra ciencia."

Sociología y Economía Política de la Matemática

Reflexionando sobre la aplicabilidad de la Sociología y de la Economía Política, como concepción y como método para estudiar problemas sociales, llegamos a un planteamiento preliminar, a manera de hipótesis, si se quiere percibirlo de esa manera.

No es lo mismo por ejemplo, decir "Sociología Matemática" o "Economía Política Matemática" que "Sociología de laMatemática" o "Economía Política de laMatemática".

En el primer caso tendríamos que ocuparnos de la medición de los fenómenos sociales en general o particularmente de producción, distribución y consumo asociados a los intereses económicos de las clases sociales y sus relaciones con el Estado.

En el segundo caso de los intereses económicos y sociales expresados en el poder del Estado en la medición de los fenónemos. No es lo mismo explicarse los grandes avances de la matemática aplicados a los problemas de la Sociología o la Economía Política que explicarse de manera Sociológica, Económica y Política el avance de la Matemática. Y realmente es esto último lo que queremos hacer: descubrir los intereses y las condiciones de clase social que impulsan los grandes descubrimientos y aplicaciones matemáticas incluyendo desde luego el campo de la Ciencia Económica.

El surgimiento de la Matemática está asociada al hecho social, económico, político.

La medición de la tierra, la geometría, surge de los intereses económicos de la clase explotadora en el Antiguo Egipto. Necesitaban tener mediciones correctas de los flujos y reflujos en las altas y bajas "mareas" del Río Nilo para calcular impuestos y distribución de tierras naturalmente irrigadas.

Un hecho social económico da origen a una medición.

Ninguno de los sabios de Grecia, ya se ha dicho, hubiera podido reflexionar sobre la Matemática si no hubiera tenido los medios de subsistencia que garantizaba la explotación esclavista. Las grandes civilizaciones de América Precolombina asociaron sus grandes descubrimientos como el calendario maya, al cálculo económico relacionado con las estaciones climáticas y la productividad de la tierra.

Los tres pilares de la Matemática: Contar (es una Ciencia de la Medición), Sumar y Restar (contradicciones antagónicas a lo Hegel que encuentran su síntesis primaria en el proceso de contar o medir) se complican para explicar realidades más complejas surgidas de hechos económicos: el comercio crece conforme la capacidad productiva del trabajo lo hace también. La Suma se sintetiza en la multiplicación, nos dice Isaac Asimov y la multiplicación se sintetiza en la potenciación añadimos nosotros. La resta se sintetiza en la división sigue Asimov y la división se sintetiza en la radicación reflexionamos nosotros. De tres pilares básicos medir por medio de sumas y restas se compone la Matemática. Podemos trabajar con números y vectores, comparar incrementos de incrementos como en el Cálculo Diferencial e Integral, al final estarán presentes las funciones básicas del surgimiento de la Matemática.

Explicar pues las condiciones sociales materiales de existencia de teóricos y teorías Matemáticas y su relación con el desarrollo socioeconómico y las clases sociales que lo sustentan y el Estado, es el propósito de la Sociología y de Economía Política de la Matemática.

Matemática e índices de precios

NOTAS INICIALES
MATEMATICA E INDICES DE PRECIOS
Una explicación elemental

1. Un razonamiento crítico sobre la enseñanza de la matemática
2. Lógica corriente y lógica matemática
3. Las tres fórmulas de los índices de precios

1. Un razonamiento crítico sobre la enseñanza de la matemática

En las explicaciones matemáticas relacionadas con la sociología y la economía, usualmente se omiten los razonamientos elementales, emanados no solamente de las teorías de la producción o de la circulación, sino de la vida misma, incluso de sentido común que dan origen a abstractas y complicadas formas de razonar que se expresan en el lenguaje de la ciencia de la cantidad, que es la matemática.

En la educación en teoría administrativa, económica o sociológica, se nos hace referencia a la matemática como una ciencia autónoma, casi engendrada en el ser humano por un soplo divino y se llega al atrevimiento de sostener que quien sabe matemática puede saberlo todo. Nada más falso. Ni siquiera un buen matemático puede presumir que es o que puede ser al mismo tiempo un buen economista o un buen sociólogo por sus aptitudes o actitudes matemáticas. Peor si como también usualmente sucede, la matemática ha sido aprehendida cono un ramillete de fórmulas y procedimientos rígidos, de rutinario ejercicio mental, que en lugar de ensanchar los músculos del intelecto los adelgaza hasta volverlos raquíticos e impotentes para cuantificar creativamente los fenómenos de una realidad que necesita transformación.

La matemática que se nos ofrece normalmente consiste en complicaciones formales, y de ahí que se presuma de cualquier matemático puede dar clases de matemática financiera, sin saber de finanzas o que dirija estudios económicos y sociales sin ser sociólogo o economista. O todavía con un razonamiento rayano en el abuso demagógico, que los dirigentes científicos del futuro tienen que ser necesariamente matemáticos.

Sin demeritar la importancia de la matemática, sostenemos que esta ciencia es una ciencia auxiliar del conocimiento humano, es una ciencia que esencialmente ayuda a caracterizar un fenómeno por la vía de su medición y proyección mensurable. Lo fundamental en un fenómeno es calificarlo, cualificarlo, descubrir sus propiedades y regularidades y sistematizar el conocimiento sobre su calidad y en lo necesario sobre sus elementos de cantidad. Por eso la matemática, so pena de ser una ciencia estéril, parcial, formal, no puede separarse de la Filosofía, especialmente de la Epistemología (de la teoría del conocimiento), de la Lógica (de la forma de pensar correctamente), de la Historia (la propia matemática tiene su historia, que nos dice cómo, porqué y para qué fue construida), de la Tecnología y de las Ciencias aplicadas que le dan origen, sentido, fundamento, desarrollo, cambio, relaciones y proyecciones.

Nos parece que desde el punto de vista del proceso de enseñanza aprendizaje, se tienen que hacer esfuerzos para la elaboración de instrumentos conceptuales más didácticos en el caso de las explicaciones matemáticas, a fin de orientarlas a la interpretación de lo concreto, incluso partiendo del sentido común. Un ejercicio de esta naturaleza, que pretende simplificar una explicación matemática más compleja es el que realizamos con los índices de precios.

2. Lógica corriente y lógica matemática

A cualquier persona, le resulta completamente explicable, que el gasto actual o presente esta medido por la cantidad de productos y servicios que se adquieren, multiplicados por su respectivo precio: p1 por q1, p1 x q1, p1 * q1 o simplemente p1q1, donde “p” es el precio, “q” es la cantidad de bienes y servicios que se adquieren a determinado precio y el subíndice 1 indica que se trata del período presente, para diferenciarlo de otros períodos pasados, que se indican con el subíndice “0” (cero) o futuros con subíndices correlativamente mayores, según sea el período: 2, 3, 4 y así sucesivamente.

También resulta comprensible, que exista una preocupación cotidiana, en toda persona, familia o empresa, por examinar si el ingreso que será equivalente al gasto que se realiza o se realizará en la actualidad o en el futuro, los tiene o los tendrá en mejores o en peores condiciones económicas que antes.

El ser humano trata de enriquecerse, de progresar, en el sentido amplio del término, generando y adquiriendo más y mejores bienes y servicios. Y por ello examina y mide la situación económica en términos de capacidad adquisitiva para determinar si la situación económica presente es mejor o peor que la del pasado.

Naturalmente que el gasto que realizamos en el pasado tiene el mismo método de cálculo que el gasto actual: la multiplicación del precio por la cantidad de productos adquiridos, de todos y cada uno de ellos.

La diferencia conceptual cualitativa entre gasto pasado y presente, la expresamos en forma matemática usando un subíndice “cero” para referirnos al gasto pasado y el subíndice “uno” para referirnos al gasto presente. De manera que el gasto en el período pasado es: p0q0.

De lo dicho hasta este momento se extraen posibilidades de comparación matemática. Se puede comparar, como es lógico, la situación del gasto presente, con el gasto pasado y viceversa, el gasto pasado con el gasto presente.

Matemáticamente estas situaciones se expresan con las fórmulas:

p1q1 ÷ p0q0

y también

p0q0 ÷ p1q1

El hecho de que en la expresión matemática se cambie de posición el gasto pasado y el presente actuando alternadamente como numerador o denominador en las dos situaciones, no es intrascendente. Cuando el gasto presente actúa como numerador esta “sobre” el gasto pasado y ello significa que la situación actual se supone mejor que la anterior en cuanto a la capacidad adquisitiva. Se mide en que proporción en general se ha mejorado “hoy” con relación a “ayer”.

Por el contrario si la forma de cálculo del gasto pasado actúa como numerador, el “pasado” esta sobre el “presente” y esto lleva implícita la suposición de que se tenían mejores condiciones de capacidad adquisitiva antes.

Es necesario recordar siempre, que la economía capitalista es la economía de mercado cuando ha alcanzado su mayor desarrollo, aún cuando se trate de países periféricos, dependientes, subdesarrollados o en vías de desarrollo. La economía de mercado tiene en la categoría precio, la categoría central, por ello algunos teóricos identifican el “sistema de mercado” como el “sistema de precios”. El precio es tanto resultante de la expresión monetaria del valor de los factores de la producción (recursos naturales, humanos, tecnológicos, capacidad empresarial) como de los factores de la circulación (interacción de la oferta y la demanda). El precio es una categoría resultante del proceso de acumulación originaria y de la interacción de la oferta y la demanda, pero también es una categoría determinante de ellas, el proceso de acumulación y de circulación también dependen en ciertos momentos históricos, del comportamiento de los precios. De manera que el precio, formando parte de la vida cotidiana de la sociedad y de los consumidores, es la variable central a analizar.

Cuando las personas dicen “que barata era la vida antes”, se refieren a que podían adquirir una mayor cantidad de productos, con menos ingresos, porque el precio de los bienes y servicios era menor. Está implícito en este razonamiento la consideración de que los bienes y servicios del presente son de diferente calidad y cantidad que los de antes; aunque esta consideración no pueda expresarse en los índices simples que estamos examinando.

En la afirmación “en 1965 con 50 dólares se pagaba una letra mensual de una casa y hoy en el 2004 se necesitarían 1000 dólares mensuales para pagar la letra de la misma casa”, se encuentra implícita la valoración de que si la relación entre precio nominal y cantidad se hubieran mantenido a lo largo del tiempo, con el pago mensual de una casa hoy se hubieran podido pagar 20 casas al precio de antes.

En un razonamiento tan simple, cotidiano y básico, se pueden observar dos formas de apreciar la evolución de los precios:

• La relación del precio actual, con la cantidad de antes: p1q0

• La relación del precio de antes con la cantidad actual: p0q1

Ahora bien, estas relaciones necesitan un punto de comparación, ya sea con la situación anterior o con la actual. Para establecer esta comparación es necesario recordar el criterio de cálculo del gasto, de que las cantidades demandadas dependen de los precios. Por ello en la comparación es necesario mantener como constante las cantidades, para examinar en que medida la capacidad adquisitiva ha mejorado o empeorado, conforme la variación de los precios.

De forma que se tendría:

Primera situación: relaciona el precio actual, con la adquisición de las mismas cantidades de bienes y servicios que antes se consumían, y las compara con los precios de antes para adquirir las cantidades de antes:

p1q0 ÷ p0q0

Nótese que la cantidad se mantiene constante y que lo que varía es el precio. Este es el índice de Laspeyres.

Segunda situación: relaciona el precio de antes con las cantidades y los precios de hoy. Lo que varía es el precio, manteniendo las cantidades constantes, debe recordarse que normalmente, se considera que la situación mejora en el presente con relación al pasado y por ello, el precio de antes, con subíndice 0, se coloca en el denominador.

En virtud de ello, tenemos: p1q1÷p0q1.

Este es el índice de Paasche.

Los precios y las cantidades, deben ser individualmente considerados, pero es claro, que la suma de todos y cada uno de ellos, dará como resultado el gasto total. Como sabemos la sumatoria la expresamos con la letra griega sigma: 

3. Las tres fórmulas de los índices de precios

De manera que, al final de estas explicaciones simplificadas, tenemos tres fórmulas:

Indice general de gastos: mide la razón de los precios y cantidades de bienes y servicios, y por ende de los gastos e ingresos necesarios del período 1, con los del período base y compara si hoy se tiene mayor o menor capacidad adquisitiva por la variación de precios y cambios en consumo de bienes y servicios.

Sumatoria p1q1 ÷ Sumatoria p0q0

Indice de Lapeyres: con el precio actual estima el costo de las cantidades adquiridas en el período base, comparándolas con el precio y cantidades que sirvieron de base. Nos indica si con los precios e ingresos actuales se pueden comprar los mismos bienes que antes y en cuanto han variado los precios y consecuentemente la capacidad adquisitiva de los ingresos.

Sumatoria p1q0 ÷ Sumatoria p0q0

Indice de Paasche: mide el precio y el costo de todas las cantidades de bienes y servicios que “se consumen hoy” y los compara para examinar si con los precios de antes se pudieran adquirir los bienes que hoy se demandan. Es otra forma de medir si la situación de precios y cantidades ha mejorado, a partir de las variaciones en el precio.

Sumatoria p1q1 ÷ Sumatoria p0q1

Carlos Evaristo Hernández, MAE
carlosevaristoh@gmail.com

Notas para una síntesis

Notas para una síntesis

Sociología de la Matemática y Sociología Matemática

Carlos Evaristo Hernández

1. Sociología y Matemática.

La Sociología es la Ciencia de la Sociedad y la Matemática es la Ciencia de la Cantidad. Las dos provienen como toda ciencia, de la necesidad de la explicación sistemática, metódica, estructurada, coherente y causal de la realidad y de las realidades.

La realidad es una totalidad que se compone de realidades parciales. De esta situación se desprende que existan ciencias generales o de la totalidad y ciencias parciales o específicas. La sociología es una ciencia parcial pues estudia solamente una dimensión de la realidad: la social; las otras dimensiones de la realidad total son la naturaleza y el pensamiento estudiadas por sus correspondientes ciencias. La matemática es una ciencia total estudia la mensurabilidad, la expresión en el pensamiento por medio de símbolos que expresan formas de conteo de la realidad. La Matemática es la Ciencia de la Cantidad. Todas las cosas (de la naturaleza, sociedad o del pensamiento) las podemos caracterizar calificandolas con palabras y (aquí no cabe "o") cuantificandolas con números. Es decir todo tiene atributos de calidad y de cantidad, que no se pueden separar. La Matemática nos enseña como "contar" es decir expresar en términos numéricos una realidad. Por ello convivimos con la Matemática.

Como ciencia la Matemática surge antes que la Sociología, sus bases de sistematización provienen de la Antigua Grecia. La Sociología como ciencia es un evento del siglo XIX.

En la relación entre la Sociología y la Matemática se presentan dos momentos: la medición de los fenómenos sociales y la explicación social del surgimiento y desarrollo de la Ciencia de la Cantidad. Estos dos temas se pueden diferenciar incluso por su nombre: no es lo mismo la Sociología Matemática que la Sociología de la Matemática.

2. Problemas sociales y problemas matemáticos.

El principal problema del ser humano ha sido siempre producir los bienes necesarios para su subsistencia. Esto ya lo descubrieron Engels y Marx. A partir de esta necesidad y de explicarse la realidad con fines productivos se desarrolla el conocimiento humano que cuando está sistematizado y categorizado se convierte en ciencia.

La necesidad de contar lo producido dió origen al pensamiento y la simbología de los números. Así lo recuerda Asimov.

El surgimiento de la Matemática está asociada al hecho social, económico político principalmente.

La medición de la tierra, la geometría, surge de los intereses económicos de la clase explotadora en el Antiguo Egipto. Necesitaban tener mediciones correctas de los flujos y reflujos en las altas y bajas "mareas" del Río Nilo para calcular impuestos y distribución de tierras naturalmente irrigadas. Un hecho socioeconómico da origen a una medición.

Ninguno de los sabios de Grecia, ya se ha dicho, hubiera podido reflexionar sobre la Matemática si no hubiera tenido los medios de subsistencia que garantizaba la explotación esclavista. Las grandes civilizaciones de América Precolombina asociaron sus grandes descubrimientos como el calendario maya, al cálculo económico relacionado con las estaciones climáticas y la productividad de la tierra.

Los tres pilares de la Matemática: Contar (es una Ciencia de la Medición) y sus operaciones básicas, Sumar y Restar (contradicciones antagónicas a lo Hegel que encuentran su síntesis primaria en el proceso de contar o medir) se complican para explicar realidades más complejas surgidas de hechos socioeconómicos: el comercio crece conforme la capacidad productiva del trabajo lo hace también. La Suma se sintetiza en la multiplicación, nos dice Isaac Asimov y la multiplicación se sintetiza en la potenciación añadimos nosotros. La resta se sintetiza en la división sigue Asimov y la división se sintetiza en la radicación reflexionamos nosotros.

De tres pilares básicos: medir por medio de sumas y restas se compone la Matemática.

Podemos trabajar con números y vectores, comparar incrementos de incrementos como en el Cálculo Diferencial e Integral, al final estarán presentes las funciones básicas (contar, sumar y restar, nos dijo Asimov) del surgimiento de la Matemática.

3. Sociohistoria de las ramas de la Matemática.

La Matemática como ciencia tiene 5 ramas que en orden a su aparición histórica son las siguientes: Geometría, Aritmética, Algebra, Geometría Analítica, Cálculo.