Puntos de historia de la matemática

La historia de la matemática es una rama del conocimiento que estudia el origen y la evolución de los conceptos, métodos, leyes y teorías de la Ciencia de la Cantidad a lo largo del tiempo y en diferentes culturas. La matemática es una ciencia que se ocupa de las relaciones entre cantidades, formas, espacios y cambios, y que tiene aplicaciones en diversas áreas del saber humano, como la física, la astronomía, la ingeniería, la economía, la música y el arte.

La matemática se remonta a los albores de la civilización, cuando los primeros seres humanos empezaron a contar objetos, medir distancias y tiempos, y a reconocer patrones y regularidades en la naturaleza. Las primeras evidencias de actividades matemáticas se encuentran en huesos, conchas y piedras marcadas con notaciones numéricas o geométricas, que datan de hace más de 30.000 años.

Las primeras civilizaciones que desarrollaron sistemas numéricos y escritos fueron las de Mesopotamia, Egipto, India y China, entre el cuarto y el segundo milenio antes de Cristo. Estas culturas crearon las bases de la aritmética, la geometría, el álgebra y la trigonometría, y utilizaron las matemáticas para resolver problemas prácticos relacionados con el comercio, la agricultura, la construcción, la astronomía y el calendario.

La matemática griega se caracterizó por introducir el razonamiento deductivo y la demostración lógica en el estudio de las matemáticas, así como por ampliar el campo de las matemáticas puras, es decir, aquellas que se interesan por los aspectos abstractos y formales de las matemáticas. Los griegos hicieron importantes contribuciones en geometría, teoría de números, análisis y mecánica, y destacaron figuras como Pitágoras, Euclides, Arquímedes y Apolonio.

La matemática árabe o islámica se desarrolló entre los siglos VIII y XV en el contexto del imperio islámico, que abarcaba desde España hasta la India. Los matemáticos árabes preservaron y tradujeron las obras griegas, indias y persas, y aportaron nuevos conceptos y métodos en álgebra, geometría analítica, trigonometría esférica, cálculo infinitesimal y teoría de números. Entre los matemáticos árabes más destacados se encuentran Al-Juarismi, Al-Karayi, Omar Khayyam y Al-Kashi.

La matemática europea u occidental se inició en el renacimiento (siglos XV-XVI), cuando se recuperó el contacto con las fuentes clásicas griegas y árabes. Los matemáticos europeos impulsaron el desarrollo de las matemáticas aplicadas a la física, la astronomía y la navegación, así como de las matemáticas puras con el surgimiento del cálculo diferencial e integral. Entre los matemáticos europeos más relevantes se encuentran Fibonacci, Descartes, Fermat, Pascal, Newton y Leibniz.

La matemática moderna se extiende desde el siglo XVII hasta nuestros días, y se caracteriza por una gran diversificación y especialización de las ramas matemáticas, así como por una mayor abstracción y rigor formal. La matemática moderna ha explorado nuevos campos como el álgebra abstracta, la teoría de conjuntos, la topología, la lógica matemática, la teoría de la computación y la criptografía. Algunos de los matemáticos modernos más influyentes son Euler, Gauss, Cauchy, Riemann, Cantor, Hilbert, Gödel y Turing.

La importancia del álgebra booleana

El álgebra booleana es una rama de la matemática que se ocupa de las operaciones lógicas entre variables binarias, es decir, que solo pueden tomar dos valores posibles: verdadero o falso, 1 o 0, sí o no, etc. El álgebra booleana fue creada por el matemático inglés George Boole en el siglo XIX, y tiene aplicaciones importantes en la electrónica digital, la informática y la lógica.

Conceptos básicos del álgebra booleana

Un álgebra booleana es una estructura algebraica que consta de un conjunto B y dos operaciones binarias: la suma o disyunción y el producto o conjunción, que cumplen las siguientes propiedades:

- Conmutatividad: a + b = b + a   y 

                  a · b = b · a

- Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c)   y 

                 (a · b) · c = a · (b · c)

- Distributividad: a · (b + c) = (a · b) + (a · c)   y 

                   a + (b · c) = (a + b) · (a + c)

- Elemento neutro: existe un elemento 0 tal que:

                  a + 0 = a 

                   y un elemento 1 tal que:

                  a · 1 = a

- Elemento complementario: para cada elemento a existe un elemento a' tal que:

                     a + a' = 1   y 

                     a · a' = 0

- Idempotencia: a + a = a   y 

                a · a = a

Además de estas operaciones, se pueden definir otras operaciones derivadas, como la negación o complemento (¬), la resta o diferencia (-), la implicación o condicional (→), la equivalencia o bicondicional (↔), la disyunción exclusiva o suma módulo 2 (⊕), etc.

Ejemplos de álgebras booleanas

Existen varios ejemplos de álgebras booleanas, como los siguientes:

- El conjunto {0, 1} con las operaciones usuales de suma y producto módulo 2.

- El conjunto de los subconjuntos de un conjunto dado, con las operaciones de unión e intersección de conjuntos.

- El conjunto de las proposiciones lógicas, con las operaciones de disyunción lógica o "o" (∨) y conjunción lógica o "y" (∧).

Aplicaciones del álgebra booleana

El álgebra booleana tiene diversas aplicaciones en campos como la electrónica digital, la informática y la lógica. Algunas de ellas son:

- El diseño y análisis de circuitos lógicos o digitales, que son dispositivos electrónicos que realizan operaciones lógicas con señales binarias (alto o bajo voltaje).

- La simplificación de expresiones booleanas, que consiste en encontrar una forma equivalente pero más simple de una expresión booleana, usando las leyes y teoremas del álgebra booleana.

- La representación y manipulación de datos binarios en los sistemas informáticos, como los números binarios, los bits, los bytes, etc.

- La construcción y evaluación de tablas de verdad, que son tablas que muestran el valor de verdad de una expresión booleana para todas las posibles combinaciones de valores de sus variables.

Para Una Historia del Concepto de Función

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Las negrillas, algunas sangrías, conexión de algunos párrafos y el comentario inicial son nuestros para efectos de estudio.

El concepto de función nos parece sustancial en el desarrollo de la Matemática. Es un paso central en la conexión de lo ideal con lo real. La relación de cantidades, idealmente expresadas con vinculaciones hacia cosas concretas, realmente existentes.

Tal como lo expresa este artículo, en los términos de Poincaré, la formulación "estrambótica" cede paso a la formulación aplicada del concepto. Así lo inició Euler, a mediados del siglo XVIII, formalizando cuantitativamente el análisis funcional, iniciado instintivamente por los Babilonios. A nuestro juicio, la matemática, se puede cortar en dos momentos, antes y despues de la formulación del concepto de función.

Tomado de:

 http://www.astroseti.org/articulo/4379/

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Historia del concepto de función

Por :Covadonga Escandón Martínez

Si tratáramos hoy de contestar a la difícil pregunta '¿qué son las matemáticas?' muchas veces respondemos algo como 'El estudio de las relaciones entre conjuntos' o 'El estudio de las dependencias entre cantidades variables'.

Si estas afirmaciones son cercanas a la verdad entonces sería lógico sugerir que el concepto de función debe haber aparecido desde las primeras etapas del desarrollo de las matemáticas.

Ciertamente, si vemos las matemáticas babilónicas encontramos tablas de cuadrados de los números naturales, cubos de los números naturales y recíprocos de los números naturales. Estas tablas sin duda definen funciones de N sobre N o de N sobre R. E. T. Bell escribió en 1945:

Puede no ser demasiado generoso dar crédito a los antiguos babilonios de tener el instinto de función; ya que una función ha sido definida sucesivamente como una tabla o como una correspondencia. Sin embargo esto seguramente viene de ver a los antiguos matemáticos a través de ojos modernos.

Por lo tanto tenemos que rechazar la sugerencia de que el concepto de función estuviera presente en las matemáticas babilónicas aunque podamos ver que estudiaban funciones específicas.

Si avanzamos hasta las matemáticas griegas entonces llegamos al trabajo de Ptolomeo. Él computó cuerdas de un círculo lo que esencialmente quiere decir que computó funciones trigonométricas. Seguramente, uno podría pensar, que si estaba calculando funciones trigonométricas entonces Ptolomeo debe haber comprendido el concepto de función. Como escribió O Petersen en 1974 [22]: Pero si concebimos una función no como una fórmula sino como una relación más general que asocia elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto, es obvio que las funciones en ese sentido abundan en el Almagesto. Sin duda Petersen está en lo correcto al afirmar que hay funciones, en el sentido moderno, por todo el Almagesto.

Ptolomeo lidió con las funciones pero es poco probable que comprendiera el concepto de función.

Como escribe Thiele en la primera página de [2]: De vez en cuando, comparaciones anacrónicas como la que se acaba de dar nos ayudan a elucidar hechos documentados pero no a interpretar su historia.

Habiendo sugerido que el concepto de función estaba ausente en estas antiguas obras matemáticas, permítanos sugerir, como lo hace Youschkevitch en [32], que Oresme se estaba acercando en 1350 cuando describió las leyes de la naturaleza como leyes que dan una dependencia entre una cantidad y otra.

Youschkevich escribe [32]: La noción de una función aparece por primera vez en una forma más general durante el siglo XIV en las escuelas de filosofía natural de Oxford y París.

Galileo estaba empezando a entender el concepto aún con mayor claridad.

Sus estudios sobre el movimiento contienen la clara comprensión de una relación entre variables. De nuevo otra parte de sus matemáticas muestra que estaba empezando a captar el concepto de mapeo entre conjuntos. En 1638 estudió el problema de dos círculos concéntricos con centro O, el círculo mas grande A con diámetro del doble que el círculo más pequeño B. Pero al tomar cualquier punto P sobre el círculo A entonces PA corta al círculo B en un punto. Así Galileo había construido una función que mapeaba cada punto de A sobre un punto de B. De modo similar, si Q es un punto sobre B entonces el segmento OQ resultante corta al círculo A en exactamente un punto. De nuevo tiene una función, esta vez de los puntos en B hacia los puntos en A. Aunque la circunferencia de A sea el doble de la circunferencia de B, ambas tienen el mismo número de puntos. También produjo la correspondencia uno-a-uno estándar entre los enteros positivos y sus cuadrados, la cual (en términos modernos) daba una bisección entre N y un subconjunto propio.

Casi al mismo tiempo que Galileo llegaba a estas ideas, Descartes introducía el álgebra a la geometría en La Géometrie (La geometría).

Afirma que una curva puede dibujarse al permitir que un línea tome sucesivamente un número infinito de valores distintos. Esto de nuevo lleva el concepto de función a la construcción de una curva ya que Descartes está pensando en términos de la magnitud de una expresión algebraica que toma infinitos valores como en que la magnitud a partir de la cual se compone la expresión, toma un infinito número de valores

Detengámonos por un momento antes de llegar a la primera vez que se usó la palabra 'función'. Es importante entender que el concepto se desarrolló con el paso del tiempo; su significado fue cambiando y también fue siendo definido con mayor precisión a través de los años. Ya hemos sugerido que una tabla de valores, aunque defina una función, no es pensada necesariamente por su creador como una función. Los primeros empleos de la palabra 'función' sí encapsulaban ideas del concepto moderno pero de manera mucho más restrictiva.

Como tantos términos matemáticos, la palabra función fue usada por primera vez con su significado no-matemático.

Leibniz escribió en agosto de 1673 de:

[...] otros tipos de líneas que, dada una figura, llevan a cabo alguna función.

Johann Bernoulli, en una carta a Leibniz escrita el 2 de septiembre de 1694, describe una función como: [...] una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes.

En un artículo de 1698 sobre problemas isoperimétricos, Johann Bernoulli escribe sobre 'funciones de ordenadas' (ver [32]). Leibniz le escribió a Bernoulli diciendo:

[...] Me agrada que use el termino función en el mismo sentido que yo.

Era un concepto cuya introducción sucedió en el momento ideal en lo que respecta a Johann Bernoulli ya que estaba estudiando problemas de cálculo de variaciones en cuyas soluciones aparecen funciones. Ver [28] para mayor información sobre cómo el autor considera que el cálculo de variaciones es la teoría matemática que se desarrolló más en conexión con el concepto de función.

Se puede decir que en 1748 el concepto de función saltó a la fama en matemáticas. Esto se debió a Euler quien publicó Introductio in analysin infinitorum en el año en que hace central el concepto de función en su presentación del análisis. Euler definió una función en el libro como sigue: Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes.

Todo esto está muy bien pero Euler no da una definición de 'expresión analítica' sino que supone que el lector entenderá que significa expresiones formadas por las operaciones comunes de suma, multiplicación, potencias, raíces, etc.

Divide sus funciones en distintos tipos tales como algebraicas y trascendentes.

El tipo depende de la naturaleza de la expresión analítica; por ejemplo, las funciones trascendentes son las no-algebraicas como: [...] exponeciales, logaritmos y otras de las que el cálculo integral nos provee en abundancia.

Euler permitió que las operaciones algebraicas de sus expresiones analíticas aparecieran un número infinito de veces, dando como resultado series infinitas, productos infinitos y fracciones continuas infinitas. Más adelante sugiere que una función trascendente debe ser estudiada expandiéndola en una serie de potencias. No afirma que todas las funciones trascendentes puedan ser expandidas de este modo pero sí que se debe probar en cada caso específico. Sin embargo, había una dificultad en el trabajo de Euler que generaría confusión ya que no logró distinguir entre una función y su representación. No obstante, Introductio in analysin infinitorum cambiaría la manera en que los matemáticos piensan sobre conceptos familiares. Jahnke escribe [2]:

Hasta Euler las cantidades trigonométricas seno, coseno, tangente, etc. se consideraban como líneas relacionadas con el círculo más que como funciones. [...] Fue Euler quien introdujo el acercamiento funcional.

El concepto de función había llevado a Euler a hacer muchos descubrimientos importantes antes de que escribiera Introductio in analysin infinitorum. Por ejemplo, había llegado a definir la función gamma y a resolver el problema que había derrotado a los matemáticos durante mucho tiempo: la suma de la serie: 1/1 2 + 1/2 2 + 1/3 2 + 1/4 2 + ...

Demostró que la suma da π2/6 y publicó el resultado en 1740.

Regresemos a los contenidos de Introductio in analysin infinitorum. Allí Euler presenta las funciones continuas, discontinuas y mixtas pero ya que solo los primeros dos de estos conceptos tienen significados modernos distintos, llamaremos las versiones de Euler E-continuas y E-discontinuas para evitar confusiones. Una función E-continua era aquella que se expresaba mediante una única expresión analítica, una función mixta se expresaba en términos de dos o más expresiones analíticas y una función E-discontinua incluía funciones mixtas pero era un concepto más general. Euler no indicó claramente qué quería decir por una función E-discontinua aunque es obvio que las consideraba más generales que las mixtas. Más adelante las definió como aquellas funciones que tenían curvas dibujadas arbitrariamente como sus gráficas (de modo más bien confuso, son esencialmente lo que llamamos hoy funciones continuas).

En 1746 d'Alembert publicó una solución al problema de una cuerda tensa que vibra. La solución, por supuesto, depende de la forma inicial de la cuerda y d'Alembert insistió en su solución en que la función que describe las velocidades iniciales de cada punto de la cuerda tenía que ser E-continua, es decir, expresada mediante una sola expresión analítica. Euler publicó un artículo en 1749 en el que objetaba la restricción impuesta por d'Alembert, afirmando que, por razones físicas, expresiones más generales para la forma inicial tenían que permitirse.

Youschkevitch escribe [32]: d'Alembert no estaba de acuerdo con Euler. Así empezó la larga controversia sobre la naturaleza de las funciones que se permitían como condiciones iniciales y en las integrales de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales continuaba apareciendo en cantidades cada vez mayores en la teoría de la elasticidad, la hidrodinámica, la aerodinámica y la geometría diferencial.

En 1755 Euler publicó otro libro muy importante, Institutiones calculi differentialis. En este libro definió una función de manera totalmente general, dando lo que podemos razonablemente afirmar que era una definición verdaderamente moderna de función:

Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas.

Esta definición se aplica de manera más bien amplia e incluye todas las formas en que una cantidad puede ser determinada por otra. Si, por lo tanto, x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x de cualquier modo, o que son determinadas por ella, son llamadas funciones de x. Esto podría haber sido un gran logro pero, después de dar esta amplia definición, Euler dedicó el libro al desarrollo del cálculo diferencial usando solamente funciones analíticas. El primer problema con la definición de Euler de tipos de funciones fue señalada en 1780 cuando se demostró que una función mixta, dada por distintas fórmulas, a veces podía darse mediante una sola fórmula. El ejemplo más claro de una función así fue dado por Cauchy en 1844 cuando notó que la función

y = x para x≥0, y = -x para para x < 0 podía expresarse mediante la fórmula y = √(x²). Por lo tanto dividir las funciones en E-continuas y mixtas no tenía sentido. Sin embargo, una objeción más seria vino del trabajo de Fourier quien afirmó en 1805 que Euler estaba equivocado. Fourier demostró que algunas funciones discontinuas podían representarse por lo que hoy llamamos una serie de Fourier. La diferencia entre funciones E-continuas y funciones E-discontinuas, por ende, no existía. El trabajo de Fourier no fue aceptado de inmediato y matemáticos prominentes como Lagrange no lo aceptaron en ese momento. Luzin señala en [17] y [18] que la confusión respecto a las funciones se había debido a una falta de comprensión de la diferencia entre 'función' y su representación; por ejemplo como una serie de senos y cosenos. EL trabajo de Fourier llevaría finalmente a clarificar el concepto de función cuando, en 1829, Dirichlet demostró algunos resultados concernientes a la convergencia de las series de Fourier, y aclarando así la diferencia entre una función y su representación.

Otros matemáticos dieron sus propias versiones de la definición de función.

Condorcet parece haber sido el primero en retomar la definición general de Euler de 1755 (ver [31] para más detalles). En 1778 Condorcet envío las primeras dos partes de un trabajo de cinco, Traité du calcul integral a la Academia de París. Nunca fue publicado pero muchos de los principales matemáticos franceses lo vieron. En esta obra, Condorcet distingue tres tipos de funciones: funciones explícitas, implícitas dadas solo por ecuaciones no resueltas y funciones que se definen a partir de consideraciones físicas tales como las que son solución de una ecuación diferencial.

Lacroix, quien había leído el trabajo inconcluso de Condorcet, escribió en 1797:

Cada cantidad cuyo valor depende de una o más cantidades se llama una función de éstas últimas, se conozca o no qué operación es necesario usar para llegar de la última a la primera.

Cauchy, en 1821, dio una definición que hace de la dependencia entre variables el centro del concepto de función. Escribió en Cours d'analyse: Si cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de una de ellas está dado, se puede llegar a los valores de todas las otras; uno ordinariamente concibe estas distintas cantidades como expresadas mediante una de ellas, la cual entonces toma el nombre de variable independiente; las otras cantidades expresadas mediante la variable independiente son aquellas a las que se llaman funciones de esta variable.

Nótese que a pesar de la generalidad de la definición de Cauchy, que está diseñada para cubrir tanto las funciones implícitas como las explícitas, aún piensa en una función en términos de una fórmula. De hecho, hace la distinción entre funciones implícitas y explícitas justo después de dar esta definición. También introduce conceptos que indican que todavía peinsa en términos de expresiones analíticas.

Fourier, en Théorie analytique de la Chaleur en 1822, dio la siguiente definición: En general, la función ƒ(x) representa una sucesión de valores u ordenadas cada uno de los cuales es arbitrario. Dados una infinidad de valores de la abscisa x, hay un número igual de ordenadas ƒ(x). Todas tienen valores numéricos, ya sean positivos, negativos o cero. No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen unas a otras de una forma cualquiera y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad sola.

Está claro que Fourier ha dado una definición que se aleja deliberadamente de las expresiones analíticas. Sin embargo, y a pesar de ello, cuando empieza a demostrar teoremas sobre expresar una función arbitraria como serie de Fourier, ¡entonces usa el hecho de que su función es continua en el sentido moderno!

Dirichlet, en 1837, aceptó la definición de función de Fourier e inmediatamente de dar esta definición, definió una función continua (usando continuo en el sentido moderno). Dirichlet también dio un ejemplo de una función definida en el intervalo [0,1] que es discontinua en todos sus puntos; ésta es ƒ(x) definida como 0 si x es racional y 1 si x es irracional.

En 1838, Lobachevsky dio una definición de una función general que todavía necesitaba que ésta fuera continua: Una función de x es un número que está dado para cada x y que cambia gradualmente junto con x. El valor de la función puede estar dado mediante una expresión analítica o mediante una condición que ofrece una manera de probar todos los números y seleccionar uno de ellos o, finalmente, la dependencia puede existir pero ser desconocida.

Sin duda la función discontinua en todos los puntos de Dirichlet no sería una función bajo la definición de Lobachervsky. Hankel, en 1870, deploró la confusión que aún reinaba sobre el concepto de función: Una persona define función esencialmente en el sentido de Euler, otra requiere que y debe cambiar con x según alguna ley, sin dar una explicación de este obscuro concepto; la tercera la define en la misma manera que Dirichlet, la cuarta sin más no la define. Sin embargo, todo el mundo deduce de su concepto conclusiones que no están contenidas en él.

Alrededor de esa época se construyeron muchas funciones patológicas. Cauchy dio un ejemplo temprano cuando notó que ƒ(x) = exp(-1/x²) para x≠0, ƒ(0) = 0, es una función continua cuyas derivadas en 0 son todas 0. Por lo tanto, tiene una serie de Taylor que converge en todos los puntos pero que solo es igual a la función en 0.

En 1876 Paul du Bois-Reymond hizo la distinción entre una función cuya serie de Fourier diverge en un punto. En esta línea se avanzó en 1885 cuando Weierstrass demostró que cualquier función continua es el límite de una secuencia de polinomios que converge uniformente. Anteriormente, en 1872, Weierstrass había enviado un artículo a la Academia de Ciencias de Berlín dando un ejemplo de una función continua que no es diferenciable en ningún punto. Lützen escribe en [2]: La función de Weierstrass contradecía la idea intuitiva de la mayor parte de sus contemporáneas que apuntaba a que las funciones contúnuas eran differenciables excepto en 'puntos especiales'. Fue una sensación y, de acuerdo con Hankel, incredulidad cuando du Bois-Reymond la publicó en 1875.

Poincaré estaba a disgusto con la dirección que había tomado la definición de función. En 1899 escribió: Durante medio siblo hemos visto una masa de funciones extrañas que parecen forzadas a parecerse lo menos posible a las funciones honestas que sirven a algún propósito. [...]

Antes, cuando se inventaba una nueva función era con una meta práctica. Hoy son inventadas a propósito para mostrar que el razonamiento de nuestros ancestros fallaba y nunca obtendremos más que eso de ellas. Si la lógica fuera la única guía del profesor, tendría que empezar por lo más general, es decir, las funciones más estrambóticas.

¿De dónde han tomado el concepto las definiciones más modernas?

Goursat, en 1923, dio la definición que aparece en la mayoría de los libros de textos hoy en día: Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x).

En caso de que ésta no sea lo suficientemente precisa y que involucra conceptos como 'valor' y 'correspondencia', véase la definición dada por Patrick Suples en 1960:

Definición. A es una relación ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ (∃y)(∃z)(x = (y,z)). Se escribe y A z si (y,z) ∈ A.

Definición. ƒ es una función⇔ ƒ es una relación y (∀x) (∀y) (∀z)(x ƒ y y x ƒ z ⇒ y = z).

¿Qué hubiera pensado Poincaré de la definición de Suples?

Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson

MacTutor History of Mathematics Archive

Bibliografía

H N Jahnke (ed.), A history of analysis (American Mathematical Society, Providence, R.I., 2003).

N Luzin, Function I, Amer. Math. Monthly 105 (1) (1998), 59-67.

N Luzin, Function II, Amer. Math. Monthly 105 (3) (1998), 263-270.

O Petersen, Logistics and the theory of functions, Arch. Internat. d'Hist. d. Sciences 24 (94) (1974), 29-50.

R Thiele, Frühe Variationsrechnung und Funktionsbegriff, Mathesis (Verl. Gesch. Nat.wiss. Tech., Berlin, 2000), 128-181.

A P Youschkevitch, The concept of function in the works of Condorcet (Russian), in Studies in the history of mathematics, No. 19 (Russian), Izdat. 'Nauka', Moscow, 1974), 158-166, 301.

A P Youschkevitch, The concept of function up to the middle of the 19th century, Arch. History Exact Sci. 16 (1) (1976/77), 37-85.

La matemática en Grecia

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Una exposición sobre La Matemática en Grecia Antigua. Un importante elemento es la separación de los períodos históricos de la matemática como ciencia desde la antiguedad hasta nuestros días.

Puede verse en:

http://www.scribd.com/doc/124266/LA-MATEMATICA-EN-GRECIA

Análisis Matemático

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Las negrillas y separación de algunos párrafos son nuestros para efectos de estudio.

Tomado de:

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico

Análisis matemático
De Wikipedia, la enciclopedia libre

El análisis es una rama de la ciencia matemática que estudia los números reales, los complejos, los vectores y sus funciones.

Se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulación rigurosa del cálculo y estudia conceptos como la continuidad, la integración y la diferenciabilidad de diversas formas.

Historia

Matemáticos griegos como Eudoxo de Cnidos y Arquímedes hicieron un uso informal de los conceptos de límite y convergencia cuando usaron el método de exhausción para calcular el área y volumen de regiones y sólidos. De hecho, el número π fue aproximado usando el método de exhausción.

En la India del siglo XII el matemático Bhaskara concibió elementos del cálculo diferencial, así como el concepto de lo que ahora conocemos como el Teorema de Rolle.

En el siglo XIV, el análisis matemático se origina con Madhava, en el Sur de Asia, quien desarrolló ideas fundamentales como la expansión de series infinitas, las series de potencias, series de Taylor, y la aproximación racional de series infinitas.

Además desarrolló las series de Taylor de funciones trigonométricas - seno, coseno, tangente -, y estimó la magnitud de los errores de cálculo truncando estas series.

También desarrolló fracciones continuas infinitas, integración término a término, y las serie de potencias de pi. Sus discípulos de la Escuela de Kerala continuaron su trabajo hasta el siglo XVI.

El análisis en Europa se origina en el siglo siglo XVII, en el que Newton y Leibniz inventan el cálculo.

Ahora sabemos que Newton desarrolló el cálculo infinitesimal unos diez años antes que Leibnitz.

Este último lo hizo en 1675 y publicó su obra en 1684, aproximadamente veinte años antes de que Newton se decidiera a hacer lo propio con sus trabajos.

Newton había comunicado la novedad solamente a algunos pocos colegas suyos y de nada valieron las instigaciones de Halley para que Newton publicara sus trabajos más tempranamente.

Esta actitud sirvió de base para crear una desagradable controversia por el padrinazgo de la idea; discusión que podría haber sido evitada si otro gran matemático, Fermat, no hubiera tenido también la inexplicable costumbre de no hacer públicos sus trabajos.

En una carta de Fermat a Roberval, fechada el 22 de octubre de 1636, se hallan claramente descritos tanto la geometría analítica[1] como el análisis matemático.[2]

En dicho siglo y en el siglo XVIII, ciertos temas sobre el análisis como el cálculo de variaciones, las ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales, el análisis de Fourier y las funciones generadoras fueron desarrolladas principalmente para un trabajo de aplicación.

Las técnicas del Cálculo fueron aplicadas con éxito en la aproximación de problemas discretos mediante los continuos.

A todo lo largo del siglo XVIII la definición del concepto de función estuvo sujeta a debate entre los matemáticos.

En el siglo XIX, Cauchy fue el primero que estableció el cálculo sobre unos firmes fundamentos lógicos mediante el uso del concepto de sucesión de Cauchy.

También inició la teoría formal del Análisis complejo.

Poisson, Liouville, Fourier y otros, estudiaron ecuaciones en derivadas parciales y el Análisis armónico.

Mediado dicho siglo, Riemann introduce su teoría de la integración.

En el último tercio del siglo XIX Weierstrass lleva a la aritmetización del análisis, ya que pensaba que el razonamiento geométrico era engañoso por naturaleza, e introduce la definición ε-δ de límite.

Entonces los matemáticos empezaron a preguntarse si no estarían asumiendo la existencia de cierto continuo de números reales sin probar su existencia. Dedekind entonces construye los números reales mediante las cortaduras de Dedekind. Sobre la misma época, los intentos de refinar los teoremas de integración de Riemann llevaron hacia el estudio del «tamaño» de los conjuntos de discontinuidad de funciones reales.

También, funciones «monstruos» (funciones continuas en ninguna parte, funciones continuas pero no diferenciables en ningún punto, Curva que llena el espacio, Curva de Peano) comenzaron a surgir.

En este contexto Jordan desarrolló su teoría de medida, Cantor lo hizo con lo que ahora se llama teoría de conjuntos, y Baire prueba el Teorema de la categoría de Baire.

A principios del siglo XX, el cálculo se formaliza usando la teoría de conjuntos. Lebesgue resuelve el problema de la medida, y Hilbert introduce los espacios de Hilbert para resolver ecuaciones integrales. La idea de espacios vectoriales normados estuvo en ciernes, y en los años 1920 Banach crea el Análisis funcional.

El análisis matemático incluye los siguientes campos:

Análisis real, esto es, el estudio formalmente riguroso de las derivadas e integrales de las funciones real-valuadas, lo que incluye el estudio de límites, series y medidas.

Análisis funcional, que estudia espacios y funciones e introduce conceptos como los de espacios de Banach y espacios de Hilbert.

Análisis armónico, que trata de las series de Fourier y de sus abstracciones.

Análisis complejo, que estudia funciones que van del plano complejo hacia sí mismo y que son complejo-diferenciables, las funciones holomorfas.

Análisis p-ádico, el análisis en el contexto de los números p-ádicos, que difiere de forma interesante y sorprendente de su homólogo real y complejo.

Análisis no-estándar, que investiga ciertos números hiperreales y sus funciones y da un tratamiento riguroso de los números infinitesimales y los infinitamente grandes.

Referencias

(1) Existe un ensayo escrito por Fermat en 1629 en el que crea la geometría analítica, pero no fue editado hasta 1669, treinta años después de la aparición de la Géométrie de Descartes.

(2) Capítulo VII: Este Mundo Fluente, Tobías Dantzig, "El Número Lenguaje de la Ciencia, Editorial Hobbs Sudamericana S. A., Buenos Aires, 1971, página 143.

Bibliografía

Apostol, Tom M. (1960). Análisis matemático: Introducción moderna al cálculo superior. Reverté. ISBN 84-291-5000-5.

Rey Pastor, Julio (1985). Análisis matemático: Teoría de ecuaciones; cálculo infinitesimal de una variable. Kapelusz. ISBN 950-13-3301-9.

Gardner Bartle, Robert (1982). Introducción al análisis matemático. Limusa. ISBN 968-18-0997-1.
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Historia de la Estadística

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Las negrillas y separación de algunos párrafos son nuestros para efectos de estudio.

Tomado de:

http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/eco/21/estadistica.htm

La estadística surgió en épocas muy remotas. La historia demuestra que Tacito, historiador latino, cuenta que Augusto ordenó una amplia encuesta sobre las riquezas del imperio, enumeró los soldados, los navíos, los recursos de todas clases y las rentas públicas.

La Estadística, como todas las ciencias, no surgió de improviso, sino mediante un proceso largo de desarrollo y evolución, desde hechos de smple recolección de datos hasta la diversidad y rigurosa interpretación de los datos que se dan hoy en día.

Así pues, el origen de la Estadística se remonta a los comienzos de la historia y esto se sabe tanto a través de crónicas, datos escritos, como de restos arqueológicos, y esto es explicable por cuanto en ese tiempo se estaba formado recién la sociedad y es algo inherente la necesidad de saber cosas elementales como: cuántos habitantes tiene a tribu, con cuantos bienes cuenta, etc.

Su origen empieza posiblemente en la isla de Cerdeña, donde existen monumentos prehistóricos pertenecientes a los Nuragas, las primeros habitantes de la isla; estos monumentos constan de bloques de basalto superpuestos sin mortero y en cuyas paredes de encontraban grabados toscos signos que han sido interpretados con mucha verosimilidad como muescas que servían para llevar la cuenta del ganado y la caza. Poco a poco conforme fue evolucionando la sociedad, estos hechos fueron más frecuentes y menos inciertos.

En los antiguos monumentos egipcios se encontraron interesantes documentos en que demuestran la sabia organización y administración de este pueblo; ellos llevaban cuenta de los movimientos poblacionales y continuamente hacían censos.

Tal era su dedicación por llevar simpre una relación de todo que hasta tenían a la diosa Safnkit, diosa de los libros y las cuentas.

Todo esto era hecho bajo la dirección del Faraón y fue a partir del año 3050 a.C.

Fue Sargón II, rey de asiria, quien fundó una biblioteca en Nívine que luego fue ampliada y organizada bajo el reinado de Assurbanipal; los "textos" que allí se guardaban eran tablillas de ladrillo de arcilla cocida de 25 por 16 cm., teniendo sólo en una de sus caras inscripciones cuneiformes.

Lo saltante de todo esto es que en esta biblioteca no se guardaban poemas u obras literarias; sino simplemente era una recopilación de hechos históricos, religiosos, importantes datos estadísticos sobre producción, cuentas; así como también datos de medicina, astronomía, etc.

En la Biblia observamos en uno de los libros del Pentateuco, bajo el nombre de Números, el censo que realizó Moisés después de la salida de Egipto.

Textualmente dice: "Censo de las tribus: El día primero del segundo año después de la salida de Egipto, habló Yavhe a Moisés en el desierto de Sinaí en el tabernáculo de la reunión, diciendo: "Haz un censo general de toda la asamblea de los hijos de Israel, por familias y por linajes, describiendo por cabezas los nombres de todos los varones aptos para el servicio de armas en Israel.."".

Igual tipos de datos en varios libros que conforman la Biblia.

En China Confucio, en uno de sus clásicos "Shu-King" escrito hacia el año 550 a.C., nos narra cómo el Rey Yao en el año 2238 mandó hacer una estadística agrícola, industrial y comercial.

Grecia también tuvo importantes observaciones eestádisticas en lo que refiere a distribución de terreno, servicio militar, etc. También cabe citar entre los griegos principalmente a Sócrates, Herodoto y Aristóteles, quienes a través de sus escritos incentivaron la estadística por su importancia para el Estado.

En Roma, con su perfecta organización político, jurídica y administrativa, favoreció para el desarrollo de la Estadística.

Una muestra es el Census que se realizaba cada 5 años y que tenía por objeto no sólo saber el número de habitantes, sino también su cantidad de bienes.

Bajo el mandato de Servio Tulio, éstos pasaron a ser base constitucional del gobierno.

También en un inicio se llevaba un registro de nacimientos y de fallecimientos; pero fue bajo Antoninos que la declaración de nacimientos adquirió una verdadera institución legal que era necesaria hacerla ante el "prefecto del Erario" en el templo de Saturno y no después de 30 días de nacimiento. Con la caída del Imperio Romano las estadísticas se pierden en Europa, florreciendo más bajo la civilización árabe.

Con Carlo Magno, en Francia regresaron las estadísticas a Europa, teniendo un carácter netamente financiero y administrativo.

En Inglaterra Guillermo el Conquistador mandó a realizar una especie de catastro, que constituye un documento estadístico administrativo.

La Iglesia, viendo la importancia de la estadística es que después del Concilio de Trento estableció la obligación de la inscripción de nacimientos, matrimonio y defunciones.

A mediados del siglo XVII, gracias a Vito Seckendorff, y sobre todo de German Conring al que se le atribuye como fundador de la Estadística; era la descripción de los hechos notables de un estado.

Conring perfeccionó y mejoró notablemente la tendencia nueva, sistematizando los conocimientos y los datos.

El mejor de sus seguidores fue Godofredo Achenwall, quien consolidó definitivamente los postulados de esta nueva ciencia y también de haberle dado el nombre de "Estadística"; palabra que etimológicamente deriva de la palabra "status", que significa estado o situación; este nombre ya antes había sido usado en Italia, pero su definición todavía no estaba bien dada.

La Estadística pasó así a ser la descripción cuentitativa de las cosas notables de un estado. Von Scholer serparó la teoría de la estadística de la aplicación práctica de la misma. Todos ellos formaron parte de la tendencia de la Estadística Universitaria Alemana, conocida como la Estadística Descriptiva.

John Graunt encabeza una tendencia opuesta, nacida en Inglaterra, la de los aritméticos políticos; conocida también como Estadística Investigadora.

Ellos buscaban fijar en números los fenómenos sociales y políticos cuyas leyes empíricas buscaban.

Para su tiempo esto fue atrevido, casi imposible;

pero el mérito de ellos es de ser los primeros en buscar las leyes cuantitativas que rigen la sociedad.

De esta escuela surgen dos tendencias más:

1. Tendencia Enciclopédico Matemática: Tuvo su máximo desarrollo en Francia. Usó no sólo la matemática y el cálculo de probabilidades y lo más importante de ella es que tuvo aplicación práctica en todas las ciencias y no sólo como los aritméticos políticos que la aplicaban a los fenómenos políticos y sociales, sino también a campos jurídicos, electorales, metereológicos, etc.

Adolfo Quetelet y A. Cournot son los representantes más insignes de esta tendencia.

Quetelet, considerado por muchos el fundador de la estadística moderna, hizo innumerables aportes; el más importante fue el de la metodología estadística, sirviéndose del método sentado por él mismo, haciéndola así totalmente científica.

Cournot por su parte hizo un valioso aporte a la teoría de las probabilidades.

2. Tendencia Demográfica: Se desarrolló en Alemania y su máximo representante fue Juan Pedro Süssmilc; él hace el primer tratado que verifica el movimiento de la población. Usa los postulados de Graunt aplicándolos a los fenómenos que se refieren a la población y así nació la Demografía y fue Guillard quien le dio el nombre.

Gustavo Romelin separó a la Estadística Descriptiva en parte tecnico-metodológica y parte aplicada.

Teniendo en cuenta esto sucede que hasta este punto existen:

A) Estadística Metodológica: Que es un método general de estudio adecuado para ciertos fenómenos. Su defensor fue Cournot.

B) Estadística Social: Ciencia que estudia desde el punto de vista cuantitativo las leyes de la sociedad y en parte las de la población. Su representante es Süssmilch.

C) Estadística Cuantitativa: estudia cuantitativamente los hechos salientes del estado. Sus representantes son Conring y Achenwall.

Es por esta razón que la estadística se presenta como un poderoso auxiliar de las distintas ciencias y técnicas; al provocar en éstas la investigación de las leyes de comportamiento de ciertas variables que intervienen en un fenómeno cuyo valor, gracias a la Estadística han sido puestos de manifiesto.

Revisar los siguientes vínculos:

http://www.cortland.edu/flteach/stats/stat-sp.html
http://www.fuentesestadisticas.com/Numero50/paginas/9.htm

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Una historia de métodos cuantitativos

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Véase una historia interactiva de métodos cuantitativos en:

http://www.google.com.sv/archivesearch?q=historia+metodos+cuantitativos&scoring=t&hl=es&um=1&sa=N&sugg=d&as_ldate=1500&as_hdate=1549&lnav=hist0

En el artículo citado a continuación, las negrillas, numeración entre paréntesis y separación de algunos párrafos son nuestros para efectos de estudio.

Tomado de:

Esta es la versión html del archivo

http://rboullosa.files.wordpress.com/2008/06/resumen-lectura-1-historia-mcuantitativos1.doc.

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(I) HISTORIA DE LOS METODOS CUANTITATIVOS

El inicio formal de la Investigación Operativa tuvo lugar en Inglaterra a finales de 1939.

La finalidad era conseguir la máxima eficiencia posible.

Así en Agosto de 1940 el Físico P.M.S Balckett de la Universidad de Manchester fue responsabilizado de formar un grupo de trabajo para estudiar el sistema de defensa antiáerea gobernado por radar.

Uno de los primeros esfuerzos de este grupo fue dirigido al estudio del ataque áereo a los submarinos.

Pero aunque el razonamiento era válido, los resultados obtenidos con esta política eran muy limitados.

En definitiva la profundidad de treinta metros era adecuada cuando el submarino divisaba con antelación al bombardero pero la falta de precisión impedía obtener resultados.

Se llegó a la conclusión de que la alternativa más adecuada era optar por causar daños cuando el submarino estuviera en la superficie.

Los aspectos que caracterizan a los estudios de Investigación Operativa:

1.-Toma Directa de Datos.

2. Empleo de Modelos matemáticos

3. Obtención de las políticas óptimas

4. Modificación de dichas políticas de acuerdo con factores reales no considerados en el modelo.

En Estados Unidos, los fondos para la investigación en el campo militar se incrementaron, por lo que la mayoría de los grupos se consolidaron aumentando su número y tamaño.

En cambio en Gran Bretaña los componentes de los grupos se habían desarrollado en el medio militar pasaron a la sociedad civil.

Otro aspecto importante en este contexto es que el desarrollo de la Organización Industrial tradicional en Gran Bretaña había sido más limitado y con la excepción del Estudio del Trabajo era todavía una novedad en los círculos industriales. A mediados de la década de los cincuenta, la investigación operativa se encontraba afianzada en el mundo industrial.

La I.O. utiliza resultados de muchas áreas científicas, aunque su base fundamental se encuentra en la matemática, la economía y el cálculo de probabilidades y estadística.

Los primeros estudios que se etiquetaron como de Investigación Operativa, el aspecto técnico más característico consistió en la estructuración estadística de los datos y el empleo de modelos descriptivos de tipo probabilístico.

Los fundamentos matemáticos de los modelos líneales discretos se encuentran en la teoría de las desigualdades lineales desarrolladas en el siglo pasado.

En el resto de los años cincuenta, la Programación Líneal quedó completamente establecida con los trabajos de Charnes sobre la degeneración de Lemke sobre la dualidad, de Dantzing, Orden y Wolfe sobre la forma compacta y la descomposición de grandes programas.

Sin embargo la Programación Lineal Entera no recibe atención hasta finales de esta década en que Gomory obtiene la expresión general.

A pesar de las esperanzas que el procedimiento general sigue siendo un campo con métodos limitados e insatisfactorios

En los modelos no Lineales los resultados fundamentales proceden del desarrollo del cálculo matemático en el siglo XVIII, siendo el concepto básico el del Langrangiano.

La Programación no Lineal progresó durante los años sesenta y setenta, pudiendo atacarse la resolución de problemas de tamaño medio con varias decenas de restricciones y algunos cientos de variables.

La Programación Dinámica su inicio y desarrollo básico se debe a Richard Bellman al principio de los cincuenta.

Esta metodología no se limita a la Investigación Operativa sino que es también de gran importancia en la Teoría del Control Optimo. Muchos autores aún consideran a la Programación Dinámica como un punto de vista conceptual y un bagaje teórico para el análisis de problemas; y no como un método.


La Teoría de Colas se inicia con el trabajo del ingeniero Dánes A.K. Erlang en la industria telefónica de principios de Siglo.

Los modelos más usuales en que tanto la distribución de llegadas al sistema como la del tiempo de servicio son conocidas y pertenecen a categorías bien establecidas.

Debe resaltarse la existencia de multitud de lenguajes de simulación a disposición de los usuarios de computadoras de las empresas de mayor importancia en el sector.

La Teoría de Juegos se inicia con los primeros resultados de von Neumann sobre el teorema del mínimax en 1926.

En cualquier caso, la influencia de esta teoría sobre la organización de la producción ha sido muy limitada.

La Teoría de la Decisión se basa en la estadística Bayesiana y la estimación subjetiva de las probabilidades de los sucesos.

En la actualidad se la considera un instrumento válido para la estructuración de la toma de decisiones con incertidumbre cuando la información no es completa.

Desde su origen la Investigación Operativa se encuentra encarada con problemas para los que no existe método analítico alguno que permita obtener, con seguridad y en un tiempo conveniente, el óptimo teórico.

La Investigación de Operaciones ha establecido por tales razones métodos denominados heurísticos, incapaces de proporcionar el óptimo formal, pero susceptibles de llegar a soluciones buenas, tanto más fiables en cuanto que permiten determinar al mismo tiempo un cuota (superior o inferior) del óptimo teórico con el que se comparan.

La gran difusión que ha sufrido el software de optimización debido al incremento en la potencia de cálculo de los ordenadores y abaratamiento del costo de las aplicaciones y el hardware.

Durante los últimos años han aparecido una serie de métodos. Entre ellos se puede enumerar los algoritmos genéticos, el reconocido simulado, la búsqueda tabú y las redes neuronales.

Los algoritmos genéticos fueron introducidos por Holland para imitar algunos de los mecanismos que se observan en la evolución de las especies.

Holland creó un algoritmo que genera nuevas soluciones a partir de la unión de soluciones progenitoras, utilizando operadores similares a los de la reproducción, sin necesidad de conocer el tipo de problema a resolver.

Los algoritmos de reconocido simulado no buscan la mejor solución en el entorno de la situación actual sino que generan aleatoriamente una solución cercana y la aceptan como la mejor si tiene menor costo, caso contrario con una cierta probabilidad; esta probabilidad de aceptación irá disminuyendo con el número de iteraciones y está relacionada con el empeoramiento del costo.

El algoritmo de búsqueda Tabú a diferencia de otros algoritmos basados en técnicas aleatorias de búsqueda de soluciones cercanas se utiliza una estrategia basada e el uso de estructuras de memoria para escapar de los óptimos locales en los que se puede caer al moverse de una solución a otra por el espacio de soluciones.

Al contrario que sucede con la búsqueda local, se permiten movimientos a soluciones del entorno aunque se produzca un empeoramiento de la función objetivo.

Las Redes Neuronales son modelos analógicos que tienen como objetivo reproducir en la medida de lo posible las características y la capacidad de procesamiento de información del conjunto de neuronas presentes en el cerebro de los seres vivos.

En resumen, podría decirse que el uso de estas técnicas supone la posibilidad de resolver, de forma practica, problemas de gran complejidad que resultaban intratables mediante técnicas exactas.

La Investigación Operativa.

Los denominados Métodos Cuantitativos de Gestión visión especialmente aplicada de la disciplina conocida como Investigación Operativa.

Los objetivos de los métodos cuantitativos están claramente ceñidos al estudio de problemas de toma de decisiones.

Las Fases del método son inmediatas.

La primera Fase, formulación del problema, cumple una función primordial, ya que en base a él es posible enjuiciar que aspectos deben analizarse.

La segunda Fase consiste en la formulación de un modelo matemático que describe la situación a estudiar.

Un modelo es una abstracción p representación simplificada de una parte o segmento de la realidad.

En el modelo se pueden distinguir dos partes: esta representación se apoya generalmente en un lenguaje matemático más o menos sofisticado de acuerdo con las características del estudio que se esté realizando. Una vez finalizada la construcción del modelo se aborda la selección del criterio concreto de valoración de alternativas.

Tiene primordial importancia el conocimiento de los métodos y técnicas (:) por una parte sugiere posibilidades para la expresión matemática de las relaciones y por otra proporciona información sobre lo que se le puede pedir y es de esperar que proporcione el modelo.

En la Tercera Fase, deducción se soluciones, se requiere un bagaje técnico suficiente que permita obtener las soluciones del modelo, si este es normativo o las características fundamentales del proceso si es predictivo, conociendo de que aspectos depende la modificación de estas características.

La complejidad consustancial de los problemas conduce a la imposibilidad de obtención de las soluciones óptimas. En tales casos la generación de reglas heurísticas puede conducir a revelar nuevas formas de actuar en la práctica.

Indispensable en este caso resulta el conocimiento asociado al análisis y diseño y codificación de algoritmos.

En la cuarta Fase es necesario discernir entre las soluciones reveladas en la fase anterior, eligiendo una de ellas o una síntesis de varias.

La última fase trae consigo la caracterización en todos sus detalles de la decisión tomada.

(II) METODOS CUANTITATIVOS DE GESTION

La formación de Métodos Cuantitativos de Gestión tiene como objetivo la formación del alumno en los conceptos y técnicas básicas de la Investigación Operativa, así como en el empleo de modelos matemáticos para la resolución de problemas de Gestión e Ingenieria y en el análisis y desarrollo de algoritmos básicos y herramientas para la optimización.

PROGRAMACION LINEAL

La Programación Lineal nace a partir de la Segunda Guerra Mundial, como una técnica dedicada a la resolución de cierto tipo de problemas de asignación de recursos entre diferentes actividades.

FLUJO DE REDES

Se trata de un módulo centrado en el problema de transporte sirviendo como finalización del módulo dedicado a programación lineal en general, para iniciar el análisis de problemas con estructuras especiales.

Se completa el módulo con el estudio de problemas de distribución y su análisis mediante el método primal-dual.

PROGRAMACION LINEAL ENTERA

El siguiente módulo introduce la programación lineal entera mediante el modelado de situaciones en que existen variables de decisión, implicaciones lógicas o relaciones disyuntivas.

TEORIA DE JUEGOS

El cuarto módulo, teoría de Juegos, aborda un conjunto de situaciones caracterizada por la lucha o enfrentamiento entre dos o más oponentes.

TEORIA DE LA DECISION

En el quinto módulo se realiza una cinta introducción al análisis de alternativas en diversos entornos. Se describe como un instrumento conveniente para abordar la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre en las que no se dispone de información completa. Se analiza el valor de la información en este contexto.

PROGRAMACION DINAMICA

El sexto módulo se dedica al estudio de problemas de decisión secuenciales o de múltiples etapas. Las variables que los describen están gobernadas por transformaciones en el tiempo.

TECNICAS DE MODELADO

El módulo de técnicas de modelado describe la sistemática general del modelado basándose en las siguientes etapas:

descripción verbal del problema identificado,

especificación del horizonte al que se refiere el análisis,

evaluación de la disponibilidad y existencia de datos,

identificación de variables,

especificación de la estructura y limitaciones a través de la construcción de restricciones, expresadas en términos de los datos disponibles y de las variables identificadas,

selección de criterios de evaluación de alternativas y enfoque empleado para la solución del modelo.

SIMULACION DE EVENTOS DISCRETOS

Básicamente consiste en la construcción de modelo que describen la parte esencial del comportamiento de un sistema de interés, así como en el diseño de experimentos con el modelo y la extracción de conclusiones de los resultados de los mismos.

METODOS AVANZADOS DE GESTION

Concretamente esta asignatura estudia las técnicas más novedosas para la resolución de problemas lineales continuos y enteros, amplia las técnicas más novedosas para la resolución de problemas lineales continuos y enteros, amplia las técnicas ya expuestas desde un punto de vista computacional y generaliza los conocimientos en el campo de la optimización al caso más general de problemas no lineales repasando los métodos que permiten solucionarlos.

EXTENSIONES DE LA PROGRAMACION LINEAL

Comienza con el análisis, desde un punto de vista computacional del algoritmo simplex como método de resolución.

Posteriormente se estudian los métodos de descomposición y partición.

El tercer tema se centra en los métodos llamados de punto interior y su aplicación en el campo de la programación lineal.

PROGRAMACION NO LINEAL

Se estudian las condiciones necesarias y suficientes de optimalidad en cada tipo de problema y se introducen otros métodos de optimización para problemas con restricciones.

Los métodos duales no atacan el problema original son dual.

ALGORITMOS GENETICOS

En particular se muestran diversos tipos de operadores de selección, cruce, mutación, etc. Así como formas dinámicas de determinar sus respectivas frecuencias de empleo.

RECONOCIDO SIMULADO

La idea básica consiste no sólo en moverse de un punto a otro mejor, que sería lo razonable sino también permitir la ocurrencia esporádica y probabilística de pasos hacia atrás, esto es empeoramientos en el valor de la función objetivo.

BUSQUEDA TABU

La idea es que prohibiendo movimientos inmersos a los que aparecen en dicha tabla se minimiza la probabilidad de que la búsqueda entre en un ciclo sin salida. El efecto de memoria a corto plazo que supone la Lista Tabú se completa con mecanismos de memoria intermedia y memoria a largo plazo que se denominan intensificación y Diversificación respectivamente.

REDES NEURONALES ARTIFICIALES

Son sistemas formados por un elevado número de unidades de procesamiento elemental muy interrelacionadas y que son capaces de realizar tareas como clasificación, generalización, optimización, abstracción, etc.

TEORIA DE COLAS

Introduce el estudio desde un punto de vista analítico, de los fenómenos de espera tan corrientes en el entorno productivo. Entre las aplicaciones prácticas de la teoría de colas, destacan las relativas al diseño y análisis de unidades productivas y de servicios.
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Concepto e Historia del Cálculo

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Un esbozo básico porque es bastante preciso sobre el concepto del Cálculo puede verse en:

http://es.wikipedia.org/wiki/Cálculo_matemático

Presenta al cálculo como una fusión del álgebra, la trigonometría y la geometría analítica. Recuerda y desarrolla en sus aspectos básicos la clasificación del Cálculo en Diferencial e Integral. Presenta una tipología del Cálculo: proposicional, predicativo, relacional y lambda.

En sus aplicaciones se menciona que el Cálculo se usa básicamente en toda actividad humana que requiera procesos de optimización por medio de modelos matemáticos.

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Un repaso a la historia matemática

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Las negrillas y separación de algunos párrafos son nuestros para efectos de estudio.

Tomado de:

http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/

HISTORIA DE LA MATEMATICA

Cronológicamente, esta historia podría dividirse en cuatro grandes bloques según la periodicidad establecida por A.N. Kolmogorov:

a) Nacimiento de las matemáticas: Este periodo se prolonga hasta los siglos VI-V a.C. cuando las matemáticas se conviertesn en una ciencia independiente con objeto y metodología propios.

También podría denominarse matemáticas antiguas o prehelénicas y en ella se suelen englobar las matemáticas de las antiguas civilizaciones de Egipto, Mesopotamia, China e India. Grecia estaría situada a caballo entre este periodo y el siguiente.

b) Periodo de las matemáticas elementales: A continuación del anterior, se prolonga desde los siglos VI-V a.C. hasta finales del siglo XVI.

Durante este periodo se obtuvieron grandes logros en el estudio de las matemáticas constantes, comenzando a desarrollarse la geometría analítica y el análisis infinitesimal.

c) Periodo de formación de las matemáticas de magnitudes variables:

El comienzo de es periodo está representado por la introducción de las magnitudes variables en la geometría analítica de Descartes y la creación del cálculo diferencial e integral en los trabajos de I. Newton y G.V. Leibniz.

En el transcurso de este periodo se formaron casi todas las disciplinas conocidas actualmente, así como los fundamentos clásicos de las matemáticas contemporáneas.

Este periodo se extendería aproximadamente hasta mediados del siglo XIX.

d) Periodo de las matemáticas contemporáneas: En proceso de creación desde mediados del siglo XIX.

En este periodo el volumen de las formas espaciales y relaciones cuantitativas abarcadas por los métodos de las matemáticas han aumentado espectacularmente, e incluso podríamos decir exponencialmente desde la llegada del ordenador.
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Historia del Concepto de Función

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El concepto de función es ancestral, nos parece, porque la realidad esta relacionada funcionalmente y la expresión cuantitativa de la misma vincula hasta las líneas y los números en geometría y arirmética, disciplinas originarias de la matemática. A medida que la expresión conceptual matemática, producto del desarrollo del conocimiento humano, se separa de la realidad concreta que expresa el concepto de función matemática se complejiza, en su misma expresión cuantitativa y aún más, simbólica. Por ello es necesario recordar con Poincaré y Kline, que la medición tiene propósitos prácticos, que le ponen límites a la matemática especulativa. Nos parece oportuno entresacar como epígrafe una afirmación de Poincaré en este mismo artículo que citamos a continuación:

"Durante medio siglo hemos visto una masa de funciones extrañas que parecen forzadas a parecerse lo menos posible a las funciones honestas que sirven a algún propósito. [...] Antes, cuando se inventaba una nueva función era con una meta práctica. Hoy son inventadas a propósito para mostrar que el razonamiento de nuestros ancestros fallaba y nunca obtendremos más que eso de ellas. Si la lógica fuera la única guía del profesor, tendría que empezar por lo más general, es decir, las funciones más estrambóticas." (Poincaré)

El artículo nos da una visión panorámica de la historia del concepto de función.

Las negrillas, separación de párrafos y cursivas son nuestras, para efectos de análisis. En algunas fórmulas hemos tenido dificultades con exponenciales que para destacarlos hemos puesto en negrillas y cursivas al mismo tiempo.

En:

http://www.astroseti.org/articulo/4379/historia_del_concepto_funcion.htm

Historia del concepto de función
Traductor : Covadonga Escandón Martínez
Supervisor : docdavid

Fecha publicación Astroseti :22-Feb-2007
Fecha articulo original :01-Oct-2005

Si tratáramos hoy de contestar a la difícil pregunta '¿qué son las matemáticas?' muchas veces respondemos algo como 'El estudio de las relaciones entre conjuntos' o 'El estudio de las dependencias entre cantidades variables'.

Si estas afirmaciones son cercanas a la verdad entonces sería lógico sugerir que el concepto de función debe haber aparecido desde las primeras etapas del desarrollo de las matemáticas.

Ciertamente, si vemos las matemáticas babilónicas encontramos tablas de cuadrados de los números naturales, cubos de los números naturales y recíprocos de los números naturales.

Estas tablas sin duda definen funciones de N sobre N o de N sobre R. E. T. Bell escribió en 1945:

"Puede no ser demasiado generoso dar crédito a los antiguos babilonios de tener el instinto de función; ya que una función ha sido definida sucesivamente como una tabla o como una correspondencia.

Sin embargo esto seguramente viene de ver a los antiguos matemáticos a través de ojos modernos. Por lo tanto tenemos que rechazar la sugerencia de que el concepto de función estuviera presente en las matemáticas babilónicas aunque podamos ver que estudiaban funciones específicas".

Si avanzamos hasta las matemáticas griegas entonces llegamos al trabajo de Ptolomeo.

Él computó cuerdas de un círculo lo que esencialmente quiere decir que computó funciones trigonométricas.

Seguramente, uno podría pensar, que si estaba calculando funciones trigonométricas entonces Ptolomeo debe haber comprendido el concepto de función. Como escribió O Petersen en 1974 [22]:

"Pero si concebimos una función no como una fórmula sino como una relación más general que asocia elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto, es obvio que las funciones en ese sentido abundan en el Almagesto".

Sin duda Petersen está en lo correcto al afirmar que hay funciones, en el sentido moderno, por todo el Almagesto.

Ptolomeo lidió con las funciones pero es poco probable que comprendiera el concepto de función.

Como escribe Thiele en la primera página de [2]:

"De vez en cuando, comparaciones anacrónicas como la que se acaba de dar nos ayudan a elucidar hechos documentados pero no a interpretar su historia".

Habiendo sugerido que el concepto de función estaba ausente en estas antiguas obras matemáticas, permítanos sugerir, como lo hace Youschkevitch en [32], que Oresme se estaba acercando en 1350 cuando describió las leyes de la naturaleza como leyes que dan una dependencia entre una cantidad y otra.

Youschkevich escribe [32]:

"La noción de una función aparece por primera vez en una forma más general durante el siglo XIV en las escuelas de filosofía natural de Oxford y París".

Galileo estaba empezando a entender el concepto aún con mayor claridad. Sus estudios sobre el movimiento contienen la clara comprensión de una relación entre variables.

De nuevo otra parte de sus matemáticas muestra que estaba empezando a captar el concepto de mapeo entre conjuntos.

En 1638 estudió el problema de dos círculos concéntricos con centro O, el círculo mas grande A con diámetro del doble que el círculo más pequeño B. Pero al tomar cualquier punto P sobre el círculo A entonces PA corta al círculo B en un punto.

Así Galileo había construido una función que mapeaba cada punto de A sobre un punto de B.

De modo similar, si Q es un punto sobre B entonces el segmento OQ resultante corta al círculo A en exactamente un punto. De nuevo tiene una función, esta vez de los puntos en B hacia los puntos en A. Aunque la circunferencia de A sea el doble de la circunferencia de B, ambas tienen el mismo número de puntos.

También produjo la correspondencia uno-a-uno estándar entre los enteros positivos y sus cuadrados, la cual (en términos modernos) daba una bisección entre N y un subconjunto propio.

Casi al mismo tiempo que Galileo llegaba a estas ideas, Descartes introducía el álgebra a la geometría en La Géometrie (La geometría).

Afirma que una curva puede dibujarse al permitir que un línea tome sucesivamente un número infinito de valores distintos. Esto de nuevo lleva el concepto de función a la construcción de una curva ya que Descartes está pensando en términos de la magnitud de una expresión algebraica que toma infinitos valores como en que la magnitud a partir de la cual se compone la expresión, toma un infinito número de valores.

Detengámonos por un momento antes de llegar a la primera vez que se usó la palabra 'función'.

Es importante entender que el concepto se desarrolló con el paso del tiempo; su significado fue cambiando y también fue siendo definido con mayor precisión a través de los años.

Ya hemos sugerido que una tabla de valores, aunque defina una función, no es pensada necesariamente por su creador como una función.

Los primeros empleos de la palabra 'función' sí encapsulaban ideas del concepto moderno pero de manera mucho más restrictiva.

Como tantos términos matemáticos, la palabra función fue usada por primera vez con su significado no-matemático.

Leibniz escribió en agosto de 1673 de:

[...] otros tipos de líneas que, dada una figura, llevan a cabo alguna función.

Johann Bernoulli, en una carta a Leibniz escrita el 2 de septiembre de 1694, describe una función como:

[...] una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes.

En un artículo de 1698 sobre problemas isoperimétricos, Johann Bernoulli escribe sobre 'funciones de ordenadas' (ver [32]).

Leibniz le escribió a Bernoulli diciendo:

[...] Me agrada que use el termino función en el mismo sentido que yo.

Era un concepto cuya introducción sucedió en el momento ideal en lo que respecta a Johann Bernoulli ya que estaba estudiando problemas de cálculo de variaciones en cuyas soluciones aparecen funciones. Ver [28] para mayor información sobre cómo el autor considera que el cálculo de variaciones es la teoría matemática que se desarrolló más en conexión con el concepto de función.

Se puede decir que en 1748 el concepto de función saltó a la fama en matemáticas.

Esto se debió a Euler quien publicó Introductio in analysin infinitorum en el año en que hace central el concepto de función en su presentación del análisis.

Euler definió una función en el libro como sigue:

Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes.

Todo esto está muy bien pero Euler no da una definición de 'expresión analítica' sino que supone que el lector entenderá que significa expresiones formadas por las operaciones comunes de suma, multiplicación, potencias, raíces, etc.

Divide sus funciones en distintos tipos tales como algebraicas y trascendentes. El tipo depende de la naturaleza de la expresión analítica; por ejemplo, las funciones trascendentes son las no-algebraicas como:

[...] exponeciales, logaritmos y otras de las que el cálculo integral nos provee en abundancia.

Euler permitió que las operaciones algebraicas de sus expresiones analíticas aparecieran un número infinito de veces, dando como resultado series infinitas, productos infinitos y fracciones continuas infinitas.

Más adelante sugiere que una función trascendente debe ser estudiada expandiéndola en una serie de potencias.

No afirma que todas las funciones trascendentes puedan ser expandidas de este modo pero sí que se debe probar en cada caso específico.

Sin embargo, había una dificultad en el trabajo de Euler que generaría confusión ya que no logró distinguir entre una función y su representación.

No obstante, Introductio in analysin infinitorum cambiaría la manera en que los matemáticos piensan sobre conceptos familiares.

Jahnke escribe [2]:

Hasta Euler las cantidades trigonométricas seno, coseno, tangente, etc. se consideraban como líneas relacionadas con el círculo más que como funciones. (...)Fue Euler quien introdujo el acercamiento funcional.

El concepto de función había llevado a Euler a hacer muchos descubrimientos importantes antes de que escribiera Introductio in analysin infinitorum. Por ejemplo, había llegado a definir la función gamma y a resolver el problema que había derrotado a los matemáticos durante mucho tiempo: la suma de la serie

1/1 2 + 1/2 2 + 1/3 2 + 1/4 2 + ...

Demostró que la suma da π2/6 y publicó el resultado en 1740.

Regresemos a los contenidos de Introductio in analysin infinitorum.

Allí Euler presenta las funciones continuas, discontinuas y mixtas pero ya que solo los primeros dos de estos conceptos tienen significados modernos distintos, llamaremos las versiones de Euler E-continuas y E-discontinuas para evitar confusiones.

Una función E-continua era aquella que se expresaba mediante una única expresión analítica, una función mixta se expresaba en términos de dos o más expresiones analíticas y una función E-discontinua incluía funciones mixtas pero era un concepto más general.

Euler no indicó claramente qué quería decir por una función E-discontinua aunque es obvio que las consideraba más generales que las mixtas.

Más adelante las definió como aquellas funciones que tenían curvas dibujadas arbitrariamente como sus gráficas (de modo más bien confuso, son esencialmente lo que llamamos hoy funciones continuas).

En 1746 d'Alembert publicó una solución al problema de una cuerda tensa que vibra.

La solución, por supuesto, depende de la forma inicial de la cuerda y d'Alembert insistió en su solución en que la función que describe las velocidades iniciales de cada punto de la cuerda tenía que ser E-continua, es decir, expresada mediante una sola expresión analítica.

Euler publicó un artículo en 1749 en el que objetaba la restricción impuesta por d'Alembert, afirmando que, por razones físicas, expresiones más generales para la forma inicial tenían que permitirse.

Youschkevitch escribe [32]:

d'Alembert no estaba de acuerdo con Euler. Así empezó la larga controversia sobre la naturaleza de las funciones que se permitían como condiciones iniciales y en las integrales de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales continuaba apareciendo en cantidades cada vez mayores en la teoría de la elasticidad, la hidrodinámica, la aerodinámica y la geometría diferencial.

En 1755 Euler publicó otro libro muy importante, Institutiones calculi differentialis.

En este libro definió una función de manera totalmente general, dando lo que podemos razonablemente afirmar que era una definición verdaderamente moderna de función:

Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas.

Esta definición se aplica de manera más bien amplia e incluye todas las formas en que una cantidad puede ser determinada por otra.

Si, por lo tanto, x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x de cualquier modo, o que son determinadas por ella, son llamadas funciones de x.

Esto podría haber sido un gran logro pero, después de dar esta amplia definición, Euler dedicó el libro al desarrollo del cálculo diferencial usando solamente funciones analíticas.

El primer problema con la definición de Euler de tipos de funciones fue señalada en 1780 cuando se demostró que una función mixta, dada por distintas fórmulas, a veces podía darse mediante una sola fórmula.

El ejemplo más claro de una función así fue dado por Cauchy en 1844 cuando notó que la función

y = x para x≥0, y = -x para x < y =" √(x²).">una objeción más seria vino del trabajo de Fourier quien afirmó en 1805 que Euler estaba equivocado.

Fourier demostró que algunas funciones discontinuas podían representarse por lo que hoy llamamos una serie de Fourier.

La diferencia entre funciones E-continuas y funciones E-discontinuas, por ende, no existía.

El trabajo de Fourier no fue aceptado de inmediato y matemáticos prominentes como Lagrange no lo aceptaron en ese momento.

Luzin señala en [17] y [18] que la confusión respecto a las funciones se había debido a una falta de comprensión de la diferencia entre 'función' y su representación; por ejemplo como una serie de senos y cosenos.

EL trabajo de Fourier llevaría finalmente a clarificar el concepto de función cuando, en 1829, Dirichlet demostró algunos resultados concernientes a la convergencia de las series de Fourier, y aclarando así la diferencia entre una función y su representación.

Otros matemáticos dieron sus propias versiones de la definición de función.

Condorcet parece haber sido el primero en retomar la definición general de Euler de 1755 (ver [31] para más detalles).

En 1778 Condorcet envío las primeras dos partes de un trabajo de cinco, Traité du calcul integral a la Academia de París.

Nunca fue publicado pero muchos de los principales matemáticos franceses lo vieron.

En esta obra, Condorcet distingue tres tipos de funciones: funciones explícitas, implícitas dadas solo por ecuaciones no resueltas y funciones que se definen a partir de consideraciones físicas tales como las que son solución de una ecuación diferencial.

Lacroix, quien había leído el trabajo inconcluso de Condorcet, escribió en 1797:

Cada cantidad cuyo valor depende de una o más cantidades se llama una función de éstas últimas, se conozca o no qué operación es necesario usar para llegar de la última a la primera.

Cauchy, en 1821, dio una definición que hace de la dependencia entre variables el centro del concepto de función.

Escribió en Cours d'analyse:

Si cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de una de ellas está dado, se puede llegar a los valores de todas las otras; uno ordinariamente concibe estas distintas cantidades como expresadas mediante una de ellas, la cual entonces toma el nombre de variable independiente; las otras cantidades expresadas mediante la variable independiente son aquellas a las que se llaman funciones de esta variable.

Nótese que a pesar de la generalidad de la definición de Cauchy, que está diseñada para cubrir tanto las funciones implícitas como las explícitas, aún piensa en una función en términos de una fórmula.

De hecho, hace la distinción entre funciones implícitas y explícitas justo después de dar esta definición. También introduce conceptos que indican que todavía peinsa en términos de expresiones analíticas.

Fourier, en Théorie analytique de la Chaleur en 1822, dio la siguiente definición:

En general, la función ƒ(x) representa una sucesión de valores u ordenadas cada uno de los cuales es arbitrario. Dados una infinidad de valores de la abscisa x, hay un número igual de ordenadas ƒ(x). Todas tienen valores numéricos, ya sean positivos, negativos o cero. No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen unas a otras de una forma cualquiera y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad sola.

Está claro que Fourier ha dado una definición que se aleja deliberadamente de las expresiones analíticas. Sin embargo, y a pesar de ello, cuando empieza a demostrar teoremas sobre expresar una función arbitraria como serie de Fourier, ¡entonces usa el hecho de que su función es continua en el sentido moderno!

Dirichlet, en 1837, aceptó la definición de función de Fourier e inmediatamente de dar esta definición, definió una función continua (usando continuo en el sentido moderno). Dirichlet también dio un ejemplo de una función definida en el intervalo [0,1] que es discontinua en todos sus puntos; ésta es ƒ(x) definida como 0 si x es racional y 1 si x es irracional.

En 1838, Lobachevsky dio una definición de una función general que todavía necesitaba que ésta fuera continua:

Una función de x es un número que está dado para cada x y que cambia gradualmente junto con x. El valor de la función puede estar dado mediante una expresión analítica o mediante una condición que ofrece una manera de probar todos los números y seleccionar uno de ellos o, finalmente, la dependencia puede existir pero ser desconocida.

Sin duda la función discontinua en todos los puntos de Dirichlet no sería una función bajo la definición de Lobachervsky.

Hankel, en 1870, deploró la confusión que aún reinaba sobre el concepto de función:

Una persona define función esencialmente en el sentido de Euler, otra requiere que y debe cambiar con x según alguna ley, sin dar una explicación de este obscuro concepto; la tercder la define en la misma manera que Dirichlet, la cuarta sin más no la define. Sin embargo, todo el mundo deduce de su concepto conclusiones que no están contenidas en él.

Alrededor de esa época se construyeron muchas funciones patológicas. Cauchy dio un ejemplo temprano cuando notó que ƒ(x) = exp(-1/x²) para x≠0, ƒ(0) = 0, es una función continua cuyas derivadas en 0 son todas 0. Por lo tanto, tiene una serie de Taylor que converge en todos los puntos pero que solo es igual a la función en 0.

En 1876 Paul du Bois-Reymond hizo la distinción entre una función cuya serie de Fourier diverge en un punto. En esta línea se avanzó en 1885 cuando Weierstrass demostró que cualquier función continua es el límite de una secuencia de polinomios que converge uniformente. Anteriormente, en 1872, Weierstrass había enviado un artículo a la Academia de Ciencias de Berlín dando un ejemplo de una función continua que no es diferenciable en ningún punto.

Lützen escribe en [2]:

La función de Weierstrass contradecía la idea intuitiva de la mayor parte de sus contemporáneas que apuntaba a que las funciones contúnuas eran differenciables excepto en 'puntos especiales'. Fue una sensación y, de acuerdo con Hankel, incredulidad cuando du Bois-Reymond la publicó en 1875.

Poincaré estaba a disgusto con la dirección que había tomado la definición de función. En 1899 escribió:

"Durante medio siglo hemos visto una masa de funciones extrañas que parecen forzadas a parecerse lo menos posible a las funciones honestas que sirven a algún propósito. [...] Antes, cuando se inventaba una nueva función era con una meta práctica. Hoy son inventadas a propósito para mostrar que el razonamiento de nuestros ancestros fallaba y nunca obtendremos más que eso de ellas. Si la lógica fuera la única guía del profesor, tendría que empezar por lo más general, es decir, las funciones más estrambóticas."

¿De dónde han tomado el concepto las definiciones más modernas? Goursat, en 1923, dio la definición que aparece en la mayoría de los libros de textos hoy en día:

Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un valor de y.

Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x).

En caso de que ésta no sea lo suficientemente precisa y que involucra conceptos como 'valor' y 'correspondencia', véase la definición dada por Patrick Suples en 1960:

Definición. A es una relación ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ (∃y)(∃z)(x = (y,z)). Se escribe y A z si (y,z) ∈ A.

Definición. ƒ es una función⇔ ƒ es una relación y (∀x) (∀y) (∀z)(x ƒ y y x ƒ z ⇒ y = z).

¿Qué hubiera pensado Poincaré de la definición de Suples?

Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive

Bibliografía

H N Jahnke (ed.), A history of analysis (American Mathematical Society, Providence, R.I., 2003).

N Luzin, Function I, Amer. Math. Monthly 105 (1) (1998), 59-67.

N Luzin, Function II, Amer. Math. Monthly 105 (3) (1998), 263-270.

O Petersen, Logistics and the theory of functions, Arch. Internat. d'Hist. d. Sciences 24 (94) (1974), 29-50.

R Thiele, Frühe Variationsrechnung und Funktionsbegriff, Mathesis (Verl. Gesch. Nat.wiss. Tech., Berlin, 2000), 128-181.

A P Youschkevitch, The concept of function in the works of Condorcet (Russian), in Studies in the history of mathematics, No. 19 (Russian), Izdat. 'Nauka', Moscow, 1974), 158-166, 301.

A P Youschkevitch, The concept of function up to the middle of the 19th century, Arch. History Exact Sci. 16 (1) (1976/77), 37-85.
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